В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.
1Формулы и методы
Временная стоимость денег
Будущая стоимость
FV = PV·(1 + i)n
Приведённая стоимость
PV = FV/(1 + i)n
Несколько периодов в год
i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Аннуитет, будущая стоимость
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Метод
Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.
NPV и IRR
Чистая приведённая стоимость
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Равные денежные потоки
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Внутренняя норма доходности
r, при которой NPV = 0
Решение
принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)
Метод
Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CFt/(1 + r)t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.
Цена и доходность облигаций
Цена облигации
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Полугодовые купоны
C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность
C/P
Цена и доходность
доходность растёт → цена падает
Метод
Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.
CAPM и WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Стоимость компании
V = E + D
Анализ безубыточности
Маржинальный доход
CM = p − v
Объём безубыточности
QBE = FC/(p − v)
Целевая прибыль
Q = (FC + profit)/(p − v)
Прибыль
π = (p − v)·Q − FC
Запас финансовой прочности
(Q − QBE)/Q
2Тренировочные задачи
1.Временная стоимость денегСредняя
Кредитная карта начисляет номинальную процентную ставку 20 % годовых с полугодовой капитализацией. Найдите эффективную годовую ставку EAR в процентах.
r = 20%m = 2
EAR = %
2.Временная стоимость денегСложная
Через 20 лет вам нужно €25 000. Вы откладываете одинаковую сумму в конце каждого месяца на счёт под 4,2 % годовых с ежемесячной капитализацией. Найдите ежемесячный взнос A.
FV = €25 0004,2% / 12N = 240
A = €
3.NPV и IRRСредняя
Проект стоит €400 000 сегодня. Он приносит €35 000 в конце первого года, а затем денежный поток растёт на 3 % в год бессрочно. Стоимость капитала — 11 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.
C0 = €400 000CF1 = €35 000g = 3%r = 11%
NPV = €
4.NPV и IRRСложная
Проект стоит €40 000 и приносит €28 000, €17 000, €15 500 в конце лет с 1 по 3. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.
CF0 = −40 000CF1 = 28 000CF2 = 17 000CF3 = 15 500
IRR = %
5.Цена и доходность облигацийСредняя
Облигация номиналом €1 000 приносит годовой купон 8%, выплачиваемый двумя полугодовыми платежами; срок до погашения — 3 лет. Доходность к погашению — 5% годовых. Найдите цену облигации P.
F = €1 000купон = 8%YTM = 5%n = 3
P = €
6.Цена и доходность облигацийСложная
Облигация номиналом €1 000 с годовым купоном 8% погашается через 8 лет и продаётся за €1 060. Найдите её доходность к погашению YTM в процентах.
F = €1 000купон = 8%n = 8P = €1 060
YTM = %
7.CAPM и WACCСредняя
У компании собственный капитал стоимостью €3 000 000 и долг стоимостью €6 000 000. Стоимость собственного капитала — 11%, стоимость заёмного капитала до налогов — 4%, ставка налога — 21%. Найдите WACC.
У компании 2 500 000 акций по €14,00 за штуку и 20 000 облигаций рыночной стоимостью €1 050 каждая. Стоимость заёмного капитала до налогов — 7%, ставка налога — 30%. Бета акции — 1,1, безрисковая ставка — 2%, доходность рынка — 8%. Найдите WACC.
β = 1,1rf = 2%rm = 8%rd = 7%T = 30%
WACC = %
9.Анализ безубыточностиСредняя
Изделие можно изготавливать двумя способами. Способ A имеет постоянные затраты €25 000 в год и переменные затраты €18 на единицу. Более автоматизированный способ B имеет постоянные затраты €32 500 в год и переменные затраты €13 на единицу. При каком годовом объёме Q затраты обоих способов одинаковы?
FA = €25 000vA = €18FB = €32 500vB = €13
Q = ед.
10.Анализ безубыточностиСложная
Компания продаёт 2 250 единиц в месяц по €23 за каждую при переменных затратах €18 на единицу и постоянных затратах €7 500 в месяц. Переменные затраты растут на €2 на единицу, а цена остаётся прежней. Сколько единиц Q теперь нужно продавать в месяц, чтобы сохранить ту же прибыль?
Q = 2 250p = €23v = €18 → €20F = €7 500
Q = ед.
3Растворы
1.Временная стоимость денег
Ответ: EAR = 21 %
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Ставка за период
r/m = 0,2/2 = 0,1
Наращение за один год
EAR = (1 + 0,1)2 − 1 = 1,21 − 1 = 21%
Ответ
EAR = 21%
Если проценты начисляются чаще одного раза в год, EAR всегда выше номинальной ставки.
2.Временная стоимость денег
Ответ: A = 66,64 €
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.
Стоимость денежных потоков
PV = 35 000/(0,11 − 0,03) = 437 500,00
NPV
NPV = 437 500,00 − 400 000 = €37 500,00
Ответ
NPV = €37 500,00
NPV положительна, значит проект зарабатывает больше требуемой доходности.
4.NPV и IRR
Ответ: IRR = 27,3 %
Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.
Ограничьте IRR с двух сторон
NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.
NPV(25%) = 1 216,00
NPV(30%) = −1 347,29
Сужайте
Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
За период
C = €40,00, i = 0,025, N = 6
Приведённая стоимость купонов
€40,00·(1 − 0,8623)/0,025 = €220,33
Приведённая стоимость номинала
€1 000·0,8623 = €862,30
Цена
P = €1 082,62
Ответ
P = €1 082,62
Доходность ниже купонной ставки, поэтому облигация продаётся с премией.
6.Цена и доходность облигаций
Ответ: YTM = 6,995 %
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
Уравнение для доходности
€1 060 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
Численное решение
P(6%) = €1 124,20, P(7%) = €1 059,71
YTM = 6,995%
Ответ
YTM = 6,995%
7.CAPM и WACC
Ответ: WACC = 5,773 %
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Веса
V = €9 000 000, E/V = 0,3333, D/V = 0,6667
WACC
WACC = 0,3333·11% + 0,6667·4%·(1 − 0,21) = 5,773%
Ответ
WACC = 5,773%
8.CAPM и WACC
Ответ: WACC = 7,213 %
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Рыночные стоимости
E = 2 500 000·€14,00 = €35 000 000
D = 20 000·€1 050 = €21 000 000
Стоимость собственного капитала (CAPM)
re = 2% + 1,1·6% = 8,6%
Веса
V = €56 000 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375
WACC
WACC = 0,625·8,6% + 0,375·7%·(1 − 0,3) = 7,213%
Ответ
WACC = 7,213%
9.Анализ безубыточности
Ответ: Q = 1500 ед.
Затраты–объём–прибыль: каждая проданная единица приносит маржинальный доход: цену минус переменные затраты на единицу. Прибыль = Q·(p − v) − F, где F — постоянные затраты. В точке безубыточности прибыль равна нулю, поэтому Q = F/(p − v).
Равные полные затраты
25 000 + 18Q = 32 500 + 13Q
Находим Q
Q = (32 500 − 25 000)/(18 − 13) = 1 500
Ответ
Q = 1 500 ед.
При объёме ниже этого дешевле способ A; выше — автоматизированный способ B.
10.Анализ безубыточности
Ответ: Q = 3750 ед.
Затраты–объём–прибыль: каждая проданная единица приносит маржинальный доход: цену минус переменные затраты на единицу. Прибыль = Q·(p − v) − F, где F — постоянные затраты. В точке безубыточности прибыль равна нулю, поэтому Q = F/(p − v).