В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.
1Формулы и методы
Временная стоимость денег
Будущая стоимость
FV = PV·(1 + i)n
Приведённая стоимость
PV = FV/(1 + i)n
Несколько периодов в год
i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Аннуитет, будущая стоимость
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Метод
Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.
NPV и IRR
Чистая приведённая стоимость
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Равные денежные потоки
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Внутренняя норма доходности
r, при которой NPV = 0
Решение
принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)
Метод
Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CFt/(1 + r)t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.
Цена и доходность облигаций
Цена облигации
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Полугодовые купоны
C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность
C/P
Цена и доходность
доходность растёт → цена падает
Метод
Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.
CAPM и WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Стоимость компании
V = E + D
Анализ безубыточности
Маржинальный доход
CM = p − v
Объём безубыточности
QBE = FC/(p − v)
Целевая прибыль
Q = (FC + profit)/(p − v)
Прибыль
π = (p − v)·Q − FC
Запас финансовой прочности
(Q − QBE)/Q
2Тренировочные задачи
1.Временная стоимость денегСредняя
Аннуитет выплачивает €8 000 в конце каждого года в течение 4 лет. Процентная ставка — 7 % годовых. Найдите приведённую стоимость PV аннуитета.
A = €8 000i = 7%n = 4
PV = €
2.Временная стоимость денегСложная
Вы вносите €2 500 в начале каждого года в течение 8 лет, первый взнос — сегодня. Счёт даёт 6 % годовых. Сколько будет на счёте в конце года 8? Найдите FV.
A = €2 500i = 6%n = 8
FV = €
3.NPV и IRRСредняя
Станок стоит €60 000 сегодня, служит 8 лет, а его эксплуатация обходится в €2 000 в год (оплата в конце каждого года). Стоимость капитала — 8 %. Найдите его эквивалентные годовые затраты EAC.
C0 = €60 000M = €2 000n = 8r = 8%
EAC = €
4.NPV и IRRСложная
Проект стоит €40 000 и приносит €28 000, €15 000, €16 000 в конце лет с 1 по 3. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.
CF0 = −40 000CF1 = 28 000CF2 = 15 000CF3 = 16 000
IRR = %
5.Цена и доходность облигацийСредняя
Вы покупаете облигацию со сроком до погашения 4 лет (номинал €1 000, ежегодный купон 4%) при доходности к погашению 2,5%. Через год, сразу после получения первого купона, вы продаёте её при доходности к погашению 2%. Найдите доходность за период владения HPR в процентах.
F = €1 000купон = 4%n = 4y0 = 2,5%y1 = 2%
HPR = %
6.Цена и доходность облигацийСложная
Облигация номиналом €1 000 с годовым купоном 4% погашается через 4 лет и продаётся за €1 035. Найдите её доходность к погашению YTM в процентах.
F = €1 000купон = 4%n = 4P = €1 035
YTM = %
7.CAPM и WACCСредняя
У компании собственный капитал стоимостью €6 000 000 и долг стоимостью €4 000 000. Стоимость собственного капитала — 14%, стоимость заёмного капитала до налогов — 3%, ставка налога — 21%. Найдите WACC.
У компании 4 000 000 акций по €51,50 за штуку и 5 000 облигаций рыночной стоимостью €960 каждая. Стоимость заёмного капитала до налогов — 6%, ставка налога — 25,8%. Бета акции — 1,1, безрисковая ставка — 2%, доходность рынка — 8%. Найдите WACC.
β = 1,1rf = 2%rm = 8%rd = 6%T = 25,8%
WACC = %
9.Анализ безубыточностиСредняя
Товар продаётся по €8 за единицу при переменных затратах €4 на единицу. Постоянные затраты — €2 000 в месяц. Сколько единиц Q нужно продавать в месяц, чтобы получить прибыль €2 000?
F = €2 000p = €8v = €4прибыль = €2 000
Q = ед.
10.Анализ безубыточностиСложная
Товар продаётся по €37 за единицу, переменные затраты — €25 на единицу, постоянные — €30 000 в год. Плановые продажи — 3 750 ед. Найдите запас финансовой прочности MS в процентах от плановых продаж.
F = €30 000p = €37v = €25план = 3 750
MS = %
3Растворы
1.Временная стоимость денег
Ответ: PV = 27098 €
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Коэффициент аннуитета
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,7629)/0,07 = 3,387
Приведённая стоимость
PV = 8 000·3,387 = €27 097,69
Ответ
PV = €27 097,69
2.Временная стоимость денег
Ответ: FV = 26228 €
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Коэффициент обычного аннуитета
((1 + 0,06)8 − 1)/0,06 = 9,897
Аннуитет пренумерандо
Каждый взнос инвестирован на год дольше.
FV = 2 500·9,897·1,06 = €26 228,29
Ответ
FV = €26 228,29
3.NPV и IRR
Ответ: EAC = 12441 €
Эквивалентные годовые затраты: распределите приведённую стоимость всех затрат по сроку службы в виде равной ежегодной суммы (аннуитета): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Это позволяет сравнивать станки с разным сроком службы.
Коэффициент аннуитета
(1 − 1,08−8)/0,08 = 5,747
Цена покупки в пересчёте на год
60 000/5,747 = 10 440,89
EAC
EAC = 10 440,89 + 2 000 = €12 440,89
Ответ
EAC = €12 440,89
4.NPV и IRR
Ответ: IRR = 25,36 %
Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.
Ограничьте IRR с двух сторон
NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.
NPV(25%) = 192,00
NPV(30%) = −2 303,14
Сужайте
Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
Уравнение для доходности
€1 035 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
Численное решение
P(3%) = €1 037,17, P(4%) = €1 000,00
YTM = 3,057%
Ответ
YTM = 3,057%
7.CAPM и WACC
Ответ: WACC = 9,348 %
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Веса
V = €10 000 000, E/V = 0,6, D/V = 0,4
WACC
WACC = 0,6·14% + 0,4·3%·(1 − 0,21) = 9,348%
Ответ
WACC = 9,348%
8.CAPM и WACC
Ответ: WACC = 8,506 %
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Затраты–объём–прибыль: каждая проданная единица приносит маржинальный доход: цену минус переменные затраты на единицу. Прибыль = Q·(p − v) − F, где F — постоянные затраты. В точке безубыточности прибыль равна нулю, поэтому Q = F/(p − v).
Затраты–объём–прибыль: каждая проданная единица приносит маржинальный доход: цену минус переменные затраты на единицу. Прибыль = Q·(p − v) − F, где F — постоянные затраты. В точке безубыточности прибыль равна нулю, поэтому Q = F/(p − v).