В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.
1Формулы и методы
Временная стоимость денег
Будущая стоимость
FV = PV·(1 + i)n
Приведённая стоимость
PV = FV/(1 + i)n
Несколько периодов в год
i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Аннуитет, будущая стоимость
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Метод
Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.
NPV и IRR
Чистая приведённая стоимость
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Равные денежные потоки
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Внутренняя норма доходности
r, при которой NPV = 0
Решение
принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)
Метод
Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CFt/(1 + r)t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.
Цена и доходность облигаций
Цена облигации
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Полугодовые купоны
C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность
C/P
Цена и доходность
доходность растёт → цена падает
Метод
Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.
CAPM и WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Стоимость компании
V = E + D
Анализ безубыточности
Маржинальный доход
CM = p − v
Объём безубыточности
QBE = FC/(p − v)
Целевая прибыль
Q = (FC + profit)/(p − v)
Прибыль
π = (p − v)·Q − FC
Запас финансовой прочности
(Q − QBE)/Q
2Тренировочные задачи
1.Временная стоимость денегСредняя
Ожидается, что объект недвижимости принесёт в следующем году чистую арендную плату €12 000. Ожидается, что арендная плата будет расти на 1,5 % в год бессрочно. Требуемая доходность — 7,5 % годовых. Найдите стоимость PV объекта сегодня.
C1 = €12 000g = 1,5%r = 7,5%
PV = €
2.Временная стоимость денегСложная
Кредит €250 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 25 лет. Ставка — 3,6 % годовых с ежемесячной капитализацией. Найдите ежемесячный платёж A.
P = €250 0003,6% / 12N = 300
A = €
3.NPV и IRRСредняя
Проект стоит €400 000 сегодня. Он приносит €25 000 в конце первого года, а затем денежный поток растёт на 3 % в год бессрочно. Стоимость капитала — 10 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.
C0 = €400 000CF1 = €25 000g = 3%r = 10%
NPV = €
4.NPV и IRRСложная
Проект стоит €40 000 и приносит €23 500, €19 500, €19 000 в конце лет с 1 по 3. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.
CF0 = −40 000CF1 = 23 500CF2 = 19 500CF3 = 19 000
IRR = %
5.Цена и доходность облигацийСредняя
Вы покупаете облигацию со сроком до погашения 5 лет (номинал €1 000, ежегодный купон 8%) при доходности к погашению 2,5%. Через год, сразу после получения первого купона, вы продаёте её при доходности к погашению 3,5%. Найдите доходность за период владения HPR в процентах.
F = €1 000купон = 8%n = 5y0 = 2,5%y1 = 3,5%
HPR = %
6.Цена и доходность облигацийСложная
Облигация торгуется по €1 100 при доходности к погашению 4% (ежегодная капитализация) и дюрации Маколея 4,6 лет. С помощью модифицированной дюрации оцените новую цену P, если доходность вырастет на 50 базисных пунктов.
P0 = €1 100y = 4%D = 4,6Δy = +50 bp
P = €
7.CAPM и WACCСредняя
У компании собственный капитал стоимостью €10 000 000 и долг стоимостью €4 000 000. Стоимость собственного капитала — 12%, стоимость заёмного капитала до налогов — 3,5%, ставка налога — 20%. Найдите WACC.
У компании 4 000 000 акций по €34,00 за штуку и 40 000 облигаций рыночной стоимостью €1 020 каждая. Стоимость заёмного капитала до налогов — 4%, ставка налога — 20%. Бета акции — 1,2, безрисковая ставка — 4%, доходность рынка — 11%. Найдите WACC.
β = 1,2rf = 4%rm = 11%rd = 4%T = 20%
WACC = %
9.Анализ безубыточностиСредняя
Товар продаётся по €19 за единицу при переменных затратах €15 на единицу. Постоянные затраты — €8 000 в месяц. Сколько единиц Q нужно продавать в месяц, чтобы получить прибыль €6 000?
F = €8 000p = €19v = €15прибыль = €6 000
Q = ед.
10.Анализ безубыточностиСложная
Компания продаёт два изделия. Изделие A продаётся по €23 при переменных затратах €15; изделие B — по €42 при переменных затратах €30. Они продаются в постоянной пропорции: 4 единиц A на каждые 1 единиц B. Постоянные затраты — €17 600 в месяц. Найдите общее число единиц Q (A и B вместе), необходимое для безубыточности.
pA = €23, vA = €15pB = €42, vB = €30A : B = 4 : 1F = €17 600
Q = ед.
3Растворы
1.Временная стоимость денег
Ответ: PV = 200000 €
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Месячная ставка и число платежей
i = 0,036000000000000004/12 = 0,003
N = 12·25 = 300
Платёж
Приведённая стоимость N равных платежей A равна A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Приравняйте её к кредиту и найдите A.
(1 + i)−N = 0,4071
A = 250 000·0,003/(1 − 0,4071) = €1 265,01
Ответ
A = €1 265,01
3.NPV и IRR
Ответ: NPV = −42857 €
Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.
Стоимость денежных потоков
PV = 25 000/(0,1 − 0,03) = 357 142,86
NPV
NPV = 357 142,86 − 400 000 = −€42 857,14
Ответ
NPV = −€42 857,14
NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.
4.NPV и IRR
Ответ: IRR = 26,77 %
Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.
Ограничьте IRR с двух сторон
NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.
NPV(25%) = 1 008,00
NPV(30%) = −1 736,46
Сужайте
Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
Дюрация: дюрация Маколея — это средневзвешенное время поступления денежных потоков по облигации, где весами служат приведённые стоимости денежных потоков: D = Σ t·PVₜ/P. Модифицированная дюрация D/(1 + y) оценивает процентное изменение цены при небольшом изменении доходности: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Модифицированная дюрация
Dmod = 4,6/1,04 = 4,423
Оценка изменения цены
%ΔP ≈ −4,423·(0,005) = −2,212%
P ≈ 1100·(1 − 0,02212) = €1 075,67
Ответ
P = €1 075,67
Дюрация даёт линейную оценку; при больших изменениях доходности из-за выпуклости фактическая цена немного выше.
7.CAPM и WACC
Ответ: WACC = 9,371 %
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Затраты–объём–прибыль: каждая проданная единица приносит маржинальный доход: цену минус переменные затраты на единицу. Прибыль = Q·(p − v) − F, где F — постоянные затраты. В точке безубыточности прибыль равна нулю, поэтому Q = F/(p − v).
Безубыточность при ассортименте продаж: если изделия продаются в постоянной пропорции, используйте средневзвешенный маржинальный доход: взвесьте p − v каждого изделия по его доле в количестве единиц. Число единиц безубыточности = F/(средневзвешенный маржинальный доход), затем снова разделите в пропорции ассортимента.