В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.
1Формулы и методы
Временная стоимость денег
Будущая стоимость
FV = PV·(1 + i)n
Приведённая стоимость
PV = FV/(1 + i)n
Несколько периодов в год
i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Аннуитет, будущая стоимость
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Метод
Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.
NPV и IRR
Чистая приведённая стоимость
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Равные денежные потоки
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Внутренняя норма доходности
r, при которой NPV = 0
Решение
принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)
Метод
Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CFt/(1 + r)t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.
Цена и доходность облигаций
Цена облигации
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Полугодовые купоны
C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность
C/P
Цена и доходность
доходность растёт → цена падает
Метод
Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.
CAPM и WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Стоимость компании
V = E + D
Анализ безубыточности
Маржинальный доход
CM = p − v
Объём безубыточности
QBE = FC/(p − v)
Целевая прибыль
Q = (FC + profit)/(p − v)
Прибыль
π = (p − v)·Q − FC
Запас финансовой прочности
(Q − QBE)/Q
2Тренировочные задачи
1.Временная стоимость денегСредняя
Ожидается, что объект недвижимости принесёт в следующем году чистую арендную плату €6 000. Ожидается, что арендная плата будет расти на 3 % в год бессрочно. Требуемая доходность — 8 % годовых. Найдите стоимость PV объекта сегодня.
C1 = €6 000g = 3%r = 8%
PV = €
2.Временная стоимость денегСложная
Через 18 лет вам нужно €50 000. Вы откладываете одинаковую сумму в конце каждого месяца на счёт под 6 % годовых с ежемесячной капитализацией. Найдите ежемесячный взнос A.
FV = €50 0006% / 12N = 216
A = €
3.NPV и IRRСредняя
Инвестиция €60 000 даёт в конце лет с 1 по 3 такие денежные потоки: €29 000, €23 000, €17 000. Стоимость капитала — 5 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.
Проект стоит €25 000 и приносит €14 500, €12 500, €11 000 в конце годов с 1-го по 3-й. Денежные потоки можно реинвестировать по стоимости капитала 12 %. Найдите модифицированную внутреннюю норму доходности MIRR в процентах.
Облигация номиналом €1 000 приносит годовой купон 4%, выплачиваемый двумя полугодовыми платежами; срок до погашения — 10 лет. Доходность к погашению — 3% годовых. Найдите цену облигации P.
F = €1 000купон = 4%YTM = 3%n = 10
P = €
6.Цена и доходность облигацийСложная
Облигация номиналом €1 000 с годовым купоном 5% погашается через 3 лет и продаётся за €1 040. Найдите её доходность к погашению YTM в процентах.
F = €1 000купон = 5%n = 3P = €1 040
YTM = %
7.CAPM и WACCСредняя
Акция с бетой 0,9 имеет требуемую доходность 5,95%. Безрисковая ставка — 1%. Какую ожидаемую доходность рынка rm подразумевает CAPM?
β = 0,9re = 5,95%rf = 1%
rm = %
8.CAPM и WACCСложная
У компании 1 000 000 акций по €16,00 за штуку и 10 000 облигаций рыночной стоимостью €1 000 каждая. Стоимость заёмного капитала до налогов — 7%, ставка налога — 25%. Бета акции — 0,8, безрисковая ставка — 3%, доходность рынка — 9%. Найдите WACC.
β = 0,8rf = 3%rm = 9%rd = 7%T = 25%
WACC = %
9.Анализ безубыточностиСредняя
Товар продаётся по €22 за единицу при переменных затратах €12 на единицу. Постоянные затраты — €25 000 в месяц. Сколько единиц Q нужно продавать в месяц, чтобы получить прибыль €10 000?
F = €25 000p = €22v = €12прибыль = €10 000
Q = ед.
10.Анализ безубыточностиСложная
Товар продаётся по €12 за единицу, переменные затраты — €4 на единицу, постоянные — €40 000 в год. Плановые продажи — 7 000 ед. Найдите запас финансовой прочности MS в процентах от плановых продаж.
F = €40 000p = €12v = €4план = 7 000
MS = %
3Растворы
1.Временная стоимость денег
Ответ: PV = 120000 €
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.
Приведённая стоимость каждого потока
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,05)1 = 29 000/1,05 = 27 619,05
CF2/(1 + 0,05)2 = 23 000/1,103 = 20 861,68
CF3/(1 + 0,05)3 = 17 000/1,158 = 14 685,24
Сложите
NPV = €3 165,96
Ответ
NPV = €3 165,96
NPV положительна, значит проект зарабатывает больше требуемой доходности.
4.NPV и IRR
Ответ: MIRR = 19,99 %
Модифицированная IRR: нарастите каждое поступление до конца проекта по ставке реинвестирования (обычно по стоимости капитала), чтобы получить конечную стоимость TV. MIRR — это ставка, превращающая первоначальные инвестиции в TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Конечная стоимость поступлений
14 500·1,122 = 18 188,80
12 500·1,121 = 14 000,00
11 000·1,120 = 11 000,00
TV = 43 188,80
MIRR
MIRR = (43 188,80/25 000)1/3 − 1 = 19,99%
Ответ
MIRR = 19,99%
5.Цена и доходность облигаций
Ответ: P = 1086 €
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
За период
C = €20,00, i = 0,015, N = 20
Приведённая стоимость купонов
€20,00·(1 − 0,7425)/0,015 = €343,37
Приведённая стоимость номинала
€1 000·0,7425 = €742,47
Цена
P = €1 085,84
Ответ
P = €1 085,84
Доходность ниже купонной ставки, поэтому облигация продаётся с премией.
6.Цена и доходность облигаций
Ответ: YTM = 3,57 %
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
Уравнение для доходности
€1 040 = €50·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Численное решение
P(3%) = €1 056,57, P(4%) = €1 027,75
YTM = 3,57%
Ответ
YTM = 3,57%
7.CAPM и WACC
Ответ: rm = 6,5 %
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Рыночная премия за риск
rm − rf = (5,95% − 1%)/0,9 = 5,5%
Доходность рынка
rm = 1% + 5,5% = 6,5%
Ответ
rm = 6,5%
8.CAPM и WACC
Ответ: WACC = 6,819 %
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Затраты–объём–прибыль: каждая проданная единица приносит маржинальный доход: цену минус переменные затраты на единицу. Прибыль = Q·(p − v) − F, где F — постоянные затраты. В точке безубыточности прибыль равна нулю, поэтому Q = F/(p − v).
Затраты–объём–прибыль: каждая проданная единица приносит маржинальный доход: цену минус переменные затраты на единицу. Прибыль = Q·(p − v) − F, где F — постоянные затраты. В точке безубыточности прибыль равна нулю, поэтому Q = F/(p − v).