Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Почему основание логарифма в O большом обычно не указывают, как в O(log n)?

  1. AВсе логарифмы в информатике имеют основание 10, так что оно подразумевается
  2. BЛогарифмы по разным основаниям отличаются лишь постоянным множителем
  3. CЛогарифмы всегда округляются до целых
  4. DОснование имеет значение только при малых n
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Какова амортизированная стоимость инкремента двоичного счётчика, если один инкремент может изменить много битов?

  1. AO(1) на инкремент
  2. BO(n) на инкремент
  3. CO(log n) на инкремент
  4. DO(n log n) на инкремент
3.Структуры данныхСредняя

Приложению нужен быстрый поиск, а также вывод ключей в отсортированном порядке и запросы по диапазону. Какая структура подходит лучше всего?

  1. AСтек
  2. BХеш-таблица
  3. CНеотсортированный связный список
  4. DСбалансированное двоичное дерево поиска
4.Структуры данныхСложная

Какое свойство поддерживает любое B-дерево идеально сбалансированным?

  1. AКлючи хранятся только в корне
  2. BУ каждого узла ровно два потомка
  3. CВсе листья находятся на одной глубине
  4. DКаждый узел хранит один ключ
5.Теория графовСредняя

Сколько различных гамильтоновых циклов, H, в полном графе K5? Циклы, отличающиеся только начальной вершиной или направлением, считаются одним и тем же.

K5
H =
6.Теория графовСложная
911284516ABCDE

Алгоритм Прима строит минимальное остовное дерево, начиная с вершины D. Нажмите на ребро, которое он добавляет под номером 3.

начало: Dk = 3
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро AC
  3. 3ребро BC
  4. 4ребро BD
  5. 5ребро CE
  6. 6ребро DE
  7. 7ребро BE

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · Логарифмы по разным основаниям отличаются лишь постоянным множителем

Почему это ответ

Смена основания умножает логарифм на константу, а O большое игнорирует постоянные множители.

Ответ

B · Логарифмы по разным основаниям отличаются лишь постоянным множителем
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · O(1) на инкремент

Почему это ответ

За n инкрементов бит i меняется около n / 2ⁱ раз, поэтому всего меньше 2n изменений, в среднем O(1) на каждый.

Ответ

A · O(1) на инкремент
3.Структуры данных

Ответ: D · Сбалансированное двоичное дерево поиска

Почему это ответ

Сбалансированное BST даёт поиск за O(log n) и хранит ключи упорядоченными, поэтому симметричный обход и запросы по диапазону просты; хеш-таблица разбрасывает ключи.

Ответ

D · Сбалансированное двоичное дерево поиска
4.Структуры данных

Ответ: C · Все листья находятся на одной глубине

Почему это ответ

Заполненные узлы расщепляются вверх, а дерево становится выше только при расщеплении корня, поэтому все листья всегда остаются на одном уровне.

Ответ

C · Все листья находятся на одной глубине
5.Теория графов

Ответ: H = 12

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Посчитайте

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

Ответ

H = 12
6.Теория графов

Ответ: ребро BC

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Прима

1. DE (5)
2. CE (4)
3. BC (2)
4. AB (9)

номер ребра 3

BC

Ответ

ребро BC

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms