Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Поиск в ширину в невзвешенном графе находит:

  1. AТопологический порядок в любом графе
  2. BМинимальное остовное дерево
  3. CКратчайшие пути в графах, содержащих рёбра с отрицательными весами
  4. DКратчайшие пути (по числу рёбер) от начальной вершины
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Какая оценка для log(n!) верна?

  1. AΘ(n)
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(log n)
  4. DΘ(n log n)
3.Структуры данныхСредняя

Приложению нужен быстрый поиск, а также вывод ключей в отсортированном порядке и запросы по диапазону. Какая структура подходит лучше всего?

  1. AНеотсортированный связный список
  2. BХеш-таблица
  3. CСбалансированное двоичное дерево поиска
  4. DСтек
4.Структуры данныхСложная

Какую гарантию дают правила красно-чёрного дерева относительно высоты дерева с n ключами?

  1. AВысота равна ровно log2 n
  2. BВысота не превышает log2 n + 1
  3. CВысота не превышает n / 2
  4. DВысота не превышает 2 log2(n + 1)
5.Теория графовСредняя
ABCDEЭйлеров циклЭйлеров путь, не циклни то, ни другое

Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Эйлеров цикл
  2. 2Эйлеров путь, не цикл
  3. 3ни то, ни другое
6.Теория графовСложная
181514519207ABCDEF

Найдите суммарный вес W минимального остовного дерева взвешенного графа.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · Кратчайшие пути (по числу рёбер) от начальной вершины

Почему это ответ

BFS посещает вершины в порядке расстояния (в рёбрах) от источника, поэтому находит кратчайшие пути в невзвешенном графе за O(V + E).

Ответ

D · Кратчайшие пути (по числу рёбер) от начальной вершины
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · Θ(n log n)

Почему это ответ

log(n!) ≤ n log n, а наибольшие n / 2 множителей дают log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2); поэтому сортировке сравнениями нужно Ω(n log n).

Ответ

D · Θ(n log n)
3.Структуры данных

Ответ: C · Сбалансированное двоичное дерево поиска

Почему это ответ

Сбалансированное BST даёт поиск за O(log n) и хранит ключи упорядоченными, поэтому симметричный обход и запросы по диапазону просты; хеш-таблица разбрасывает ключи.

Ответ

C · Сбалансированное двоичное дерево поиска
4.Структуры данных

Ответ: D · Высота не превышает 2 log2(n + 1)

Почему это ответ

На каждом пути одинаковое число чёрных узлов, а красные узлы не могут быть соседними, поэтому самый длинный путь не более чем вдвое длиннее самого короткого, что даёт высоту O(log n).

Ответ

D · Высота не превышает 2 log2(n + 1)
5.Теория графов

Ответ: Эйлеров цикл

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Степени

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Нечётные вершины

0
Эйлеров цикл

Ответ

Эйлеров цикл
6.Теория графов

Ответ: W = 37

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Краскала

CE (1): берём
BD (5): берём
EF (7): берём
DE (9): берём
BC (14): пропускаем, замыкает цикл
AC (15): берём

Суммарный вес

W = 1 + 5 + 7 + 9 + 15 = 37

Ответ

W = 37

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms