Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Какова временная сложность быстрой сортировки (quicksort) в худшем случае?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n log n)
  4. DO(log n)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Какое определение класса NP верно?

  1. AЗадачи, которые нельзя решить за полиномиальное время
  2. BЗадачи распознавания, положительные ответы которых можно проверить за полиномиальное время при наличии сертификата
  3. CЗадачи, которые не может решить ни один алгоритм
  4. DЗадачи, которые не являются полиномиальными
3.Структуры данныхСредняя

Какова высота двоичного дерева поиска с n узлами в худшем случае, если ключи вставляются в отсортированном порядке?

  1. A√n
  2. Bn (дерево превращается в связный список)
  3. Clog₂ n
  4. D1
4.Структуры данныхСложная

В кольцевом буфере front == rear может означать и «пуст», и «полон». Какой распространённый способ их различить?

  1. AХранить отдельный счётчик элементов или всегда оставлять одну ячейку свободной
  2. BВсегда очищать буфер, когда front равен rear, так что состояние — пустой
  3. CХранить front и rear в одной переменной
  4. DДелать размер буфера степенью двойки
5.Теория графовСредняя

У дерева 3 вершин степени 3, 4 вершин степени 4, а все остальные его вершины — листья (степень 1). Сколько у него листьев, L?

3 × deg 34 × deg 4
L =
6.Теория графовСложная
42061729835ABCDEFG

Найдите суммарный вес W минимального остовного дерева взвешенного графа.

|V| = 7|E| = 9
W =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · O(n²)

Почему это ответ

При постоянно неудачном выборе опорных элементов (например, уже отсортированные данные и первый элемент в качестве опорного) разбиения получаются несбалансированными, что даёт O(n²). В среднем случае сложность составляет O(n log n).

Ответ

B · O(n²)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · Задачи распознавания, положительные ответы которых можно проверить за полиномиальное время при наличии сертификата

Почему это ответ

Для задачи из NP предложенное решение (сертификат) можно быстро проверить, например убедиться, что данное присваивание выполняет булеву формулу.

Ответ

B · Задачи распознавания, положительные ответы которых можно проверить за полиномиальное время при наличии сертификата
3.Структуры данных

Ответ: B · n (дерево превращается в связный список)

Почему это ответ

Вставка отсортированных ключей создаёт вырожденное дерево высотой n, и поиск становится O(n). Сбалансированные деревья это предотвращают.

Ответ

B · n (дерево превращается в связный список)
4.Структуры данных

Ответ: A · Хранить отдельный счётчик элементов или всегда оставлять одну ячейку свободной

Почему это ответ

Со счётчиком «пуст» означает count = 0, а «полон» — count = ёмкость; при одной свободной ячейке «полон» определяется как (rear + 1) mod n == front.

Ответ

A · Хранить отдельный счётчик элементов или всегда оставлять одну ячейку свободной
5.Теория графов

Ответ: L = 13

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Лемма о рукопожатиях для дерева

L + 25 = 2(L + 7) − 2
L = 13

Ответ

L = 13

Короткий путь: L = 2 + Σ (d − 2) по вершинам степени d ≥ 3.

6.Теория графов

Ответ: W = 29

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Краскала

DE (2): берём
GC (3): берём
AC (4): берём
GE (5): берём
BD (6): берём
GB (8): пропускаем, замыкает цикл
DF (9): берём

Суммарный вес

W = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 9 = 29

Ответ

W = 29

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms