Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Почему основание логарифма в O большом обычно не указывают, как в O(log n)?

  1. AВсе логарифмы в информатике имеют основание 10, так что оно подразумевается
  2. BЛогарифмы по разным основаниям отличаются лишь постоянным множителем
  3. CЛогарифмы всегда округляются до целых
  4. DОснование имеет значение только при малых n
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Какая оценка для log(n!) верна?

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(n)
  3. CΘ(n²)
  4. DΘ(log n)
3.Структуры данныхСредняя

Приложению нужен быстрый поиск, а также вывод ключей в отсортированном порядке и запросы по диапазону. Какая структура подходит лучше всего?

  1. AСбалансированное двоичное дерево поиска
  2. BХеш-таблица
  3. CНеотсортированный связный список
  4. DСтек
4.Структуры данныхСложная

Какому правилу должны подчиняться хеш и равенство, чтобы хеш-таблица работала правильно?

  1. AИз равенства хешей следует равенство ключей
  2. BРавные ключи должны иметь равные значения хеша
  3. CЗначения хеша должны быть простыми числами
  4. DРазные ключи должны иметь разные значения хеша
5.Теория графовСредняя

Связный граф имеет 13 вершин и 15 рёбер. Сколько рёбер, k, нужно удалить, чтобы осталось остовное дерево?

|V| = 13|E| = 15
k =
6.Теория графовСложная
1612101268520ABCDEF

Найдите суммарный вес W минимального остовного дерева взвешенного графа.

|V| = 6|E| = 9
W =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · Логарифмы по разным основаниям отличаются лишь постоянным множителем

Почему это ответ

Смена основания умножает логарифм на константу, а O большое игнорирует постоянные множители.

Ответ

B · Логарифмы по разным основаниям отличаются лишь постоянным множителем
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · Θ(n log n)

Почему это ответ

log(n!) ≤ n log n, а наибольшие n / 2 множителей дают log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2); поэтому сортировке сравнениями нужно Ω(n log n).

Ответ

A · Θ(n log n)
3.Структуры данных

Ответ: A · Сбалансированное двоичное дерево поиска

Почему это ответ

Сбалансированное BST даёт поиск за O(log n) и хранит ключи упорядоченными, поэтому симметричный обход и запросы по диапазону просты; хеш-таблица разбрасывает ключи.

Ответ

A · Сбалансированное двоичное дерево поиска
4.Структуры данных

Ответ: B · Равные ключи должны иметь равные значения хеша

Почему это ответ

Если бы два равных ключа хешировались по-разному, они хранились бы в разных корзинах и поиск не удавался бы; неравные ключи вполне могут иметь общий хеш.

Ответ

B · Равные ключи должны иметь равные значения хеша
5.Теория графов

Ответ: k = 3

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Рёбра остовного дерева

13 − 1 = 12

Рёбра для удаления

k = 15 − 12 = 3

Ответ

k = 3
6.Теория графов

Ответ: W = 24

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Краскала

AC (1): берём
BC (2): берём
EF (5): берём
DE (6): берём
DF (8): пропускаем, замыкает цикл
BD (10): берём

Суммарный вес

W = 1 + 2 + 5 + 6 + 10 = 24

Ответ

W = 24

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms