Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Каково решение рекуррентного соотношения T(n) = T(n/2) + O(1)?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(1)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Если взять оба конца каждого ребра максимального (по включению) паросочетания, получится вершинное покрытие. Насколько оно хорошее?

  1. AВсегда минимальное вершинное покрытие
  2. BНеизвестного качества по сравнению с оптимумом
  3. CНе более чем вдвое больше минимального вершинного покрытия
  4. DНе более чем в log n раз больше минимума
3.Структуры данныхСредняя

Сколько времени занимает проверка существования ребра (u, v) с помощью матрицы смежности?

  1. AO(log V)
  2. BO(V)
  3. CO(1)
  4. DO(E)
4.Структуры данныхСложная

Каково при простом равномерном хешировании ожидаемое время поиска в хеш-таблице с цепочками, n ключами и m корзинами?

  1. AO(1 + α), где α = n / m
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(m)
5.Теория графовСредняя

У дерева 4 вершин степени 5, 3 вершин степени 2, а все остальные его вершины — листья (степень 1). Сколько у него листьев, L?

4 × deg 53 × deg 2
L =
6.Теория графовСложная
154541571441414ABCDEFG

С помощью алгоритма Дейкстры найдите длину d(F) кратчайшего пути от A до F во взвешенном графе.

начало: Aконец: F
d(F) =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · O(log n)

Почему это ответ

Задача на каждом шаге уменьшается вдвое при постоянной работе на шаг, поэтому шагов около log₂ n.

Ответ

C · O(log n)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · Не более чем вдвое больше минимального вершинного покрытия

Почему это ответ

Рёбра паросочетания не имеют общих вершин, поэтому оптимуму нужна хотя бы одна вершина на ребро, а этот метод берёт две: это 2-приближение.

Ответ

C · Не более чем вдвое больше минимального вершинного покрытия
3.Структуры данных

Ответ: C · O(1)

Почему это ответ

Элемент матрицы в строке u и столбце v сразу показывает, есть ли ребро; в списках смежности может понадобиться просмотреть соседей u.

Ответ

C · O(1)
4.Структуры данных

Ответ: A · O(1 + α), где α = n / m

Почему это ответ

Вычисление хеша стоит O(1), а ожидаемая длина цепочки равна α, поэтому, если ограничивать α увеличением таблицы, ожидаемое время составит O(1).

Ответ

A · O(1 + α), где α = n / m
5.Теория графов

Ответ: L = 14

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Лемма о рукопожатиях для дерева

L + 26 = 2(L + 7) − 2
L = 14

Ответ

L = 14

Короткий путь: L = 2 + Σ (d − 2) по вершинам степени d ≥ 3.

6.Теория графов

Ответ: d(F) = 9

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

В каждой строке: зафиксированная вершина, её окончательное расстояние и соседи, у которых расстояние улучшается.

A (0): B: 15, C: 4
C (4): E: 8, G: 8
E (8): D: 23, F: 9
G (8): B: 12, D: 22
F (9): D: 16
B (12)
D (16)

Кратчайший путь

A → C → E → F
d(F) = 9

Ответ

d(F) = 9

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms