Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Какой алгоритм находит кратчайшие пути из одного источника в графе с неотрицательными весами рёбер?

  1. AПоиск в глубину (DFS)
  2. BВо всех случаях требуется алгоритм Беллмана–Форда
  3. CАлгоритм Краскала
  4. DАлгоритм Дейкстры
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Каково время работы алгоритма Дейкстры с двоичной кучей на графе с V вершинами и E рёбрами?

  1. AO(V + E)
  2. BO(V × E)
  3. CO(V³)
  4. DO((V + E) log V)
3.Структуры данныхСредняя

Какую структуру данных использует поиск в глубину (DFS, итеративная версия)?

  1. AКучу
  2. BТолько хеш-таблицу
  3. CСтек
  4. DОчередь
4.Структуры данныхСложная

Каково при простом равномерном хешировании ожидаемое время поиска в хеш-таблице с цепочками, n ключами и m корзинами?

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(m)
  4. DO(1 + α), где α = n / m
5.Теория графовСредняя
ABCDEFGЭйлеров циклЭйлеров путь, не циклни то, ни другое

Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.

|V| = 7|E| = 8
  1. 1Эйлеров цикл
  2. 2Эйлеров путь, не цикл
  3. 3ни то, ни другое
6.Теория графовСложная
ABCDE

Сколько существует маршрутов длины 2 из E в B? Маршрут может повторять вершины и рёбра. Обозначим это число N.

M = матрица смежностиL = 2
N =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · Алгоритм Дейкстры

Почему это ответ

Алгоритм Дейкстры работает с неотрицательными весами; алгоритм Беллмана–Форда допускает отрицательные веса; алгоритм Краскала строит минимальные остовные деревья.

Ответ

D · Алгоритм Дейкстры
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · O((V + E) log V)

Почему это ответ

Выполняется V операций извлечения минимума и до E операций уменьшения ключа, каждая за O(log V); фибоначчиева куча улучшает это до O(E + V log V).

Ответ

D · O((V + E) log V)
3.Структуры данных

Ответ: C · Стек

Почему это ответ

DFS углубляется как можно дальше, естественно используя стек (или стек вызовов рекурсии); BFS использует очередь.

Ответ

C · Стек
4.Структуры данных

Ответ: D · O(1 + α), где α = n / m

Почему это ответ

Вычисление хеша стоит O(1), а ожидаемая длина цепочки равна α, поэтому, если ограничивать α увеличением таблицы, ожидаемое время составит O(1).

Ответ

D · O(1 + α), где α = n / m
5.Теория графов

Ответ: ни то, ни другое

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Степени

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 3, deg(F) = 1, deg(G) = 4

Нечётные вершины

C, D, E, F → 4
ни то, ни другое

Ответ

ни то, ни другое
6.Теория графов

Ответ: N = 2

Степени: степень вершины — это число рёбер, которые в ней сходятся. У каждого ребра два конца, поэтому степени в сумме дают удвоенное число рёбер: Σ deg(v) = 2|E| (лемма о рукопожатиях). Следовательно, число вершин нечётной степени чётно. У Kn имеется n(n − 1)/2 рёбер, у k-регулярного графа на n вершинах nk/2, а у дерева на n вершинах n − 1 ребро.

Матрица смежности

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Общие соседи

(M²)EB = 0·1 + 1·0 + 1·1 + 1·1 + 0·1 = 2

Ответ

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms