Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Каково решение рекуррентного соотношения T(n) = 2T(n − 1) + O(1)?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(2ⁿ)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Почему поиск в хеш-таблице в среднем имеет сложность O(1), а в худшем случае — O(n)?

  1. AДоступ к массивам имеет сложность O(n)
  2. BКлючи сначала нужно отсортировать
  3. CХеш-функции работают медленно
  4. DМногие ключи из-за коллизий могут попасть в одну и ту же корзину
3.Структуры данныхСредняя

Каков максимально возможный коэффициент заполнения хеш-таблицы с открытой адресацией?

  1. A1
  2. B2
  3. C0,5
  4. DМаксимума нет
4.Структуры данныхСложная

Почему базы данных часто используют для индексов B+ деревья, а не обычные B-деревья?

  1. AB+ деревья используют двоичные внутренние узлы, что сокращает число чтений с диска
  2. BB+ деревья хранят данные только в корне
  3. CВсе записи находятся в связанных листьях, что делает сканирование диапазонов эффективным
  4. DB+ деревья не нужно балансировать
5.Теория графовСредняя

Связный граф имеет 10 вершин и 21 рёбер. Сколько рёбер, k, нужно удалить, чтобы осталось остовное дерево?

|V| = 10|E| = 21
k =
6.Теория графовСложная
121072714910ABCDEF

С помощью алгоритма Дейкстры найдите длину d(F) кратчайшего пути от A до F во взвешенном графе.

начало: Aконец: F
d(F) =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · O(2ⁿ)

Почему это ответ

Число вызовов удваивается на каждом уровне, а уровней n, поэтому итого около 2ⁿ, как в задаче о Ханойских башнях.

Ответ

D · O(2ⁿ)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · Многие ключи из-за коллизий могут попасть в одну и ту же корзину

Почему это ответ

При хорошей хеш-функции и подходящем коэффициенте заполнения корзины в среднем остаются короткими; злонамеренно подобранные данные или плохое хеширование могут поместить все ключи в одну корзину.

Ответ

D · Многие ключи из-за коллизий могут попасть в одну и ту же корзину
3.Структуры данных

Ответ: A · 1

Почему это ответ

При открытой адресации все ключи хранятся в самой таблице, поэтому n не может превышать m; при методе цепочек коэффициент заполнения может быть больше 1.

Ответ

A · 1
4.Структуры данных

Ответ: C · Все записи находятся в связанных листьях, что делает сканирование диапазонов эффективным

Почему это ответ

В B+ дереве внутренние узлы только направляют поиск, а листья связаны в порядке ключей, поэтому запрос по диапазону находит первый ключ и затем идёт по листьям.

Ответ

C · Все записи находятся в связанных листьях, что делает сканирование диапазонов эффективным
5.Теория графов

Ответ: k = 12

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Рёбра остовного дерева

10 − 1 = 9

Рёбра для удаления

k = 21 − 9 = 12

Ответ

k = 12
6.Теория графов

Ответ: d(F) = 23

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

В каждой строке: зафиксированная вершина, её окончательное расстояние и соседи, у которых расстояние улучшается.

A (0): B: 12, C: 10
C (10): E: 17
B (12): D: 14
D (14): F: 23
E (17)
F (23)

Кратчайший путь

A → B → D → F
d(F) = 23

Ответ

d(F) = 23

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms