Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Каково решение рекуррентного соотношения T(n) = 2T(n − 1) + O(1)?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Топологическая сортировка возможна только для:

  1. AГрафов с отрицательными весами
  2. BПолных графов
  3. CОриентированных ациклических графов
  4. DНеориентированных графов
3.Структуры данныхСредняя

Какова высота двоичного дерева поиска с n узлами в худшем случае, если ключи вставляются в отсортированном порядке?

  1. A√n
  2. Bn (дерево превращается в связный список)
  3. C1
  4. Dlog₂ n
4.Структуры данныхСложная

Нужно хранить k наименьших значений из потока n чисел, используя O(k) памяти. Какой подход работает за время O(n log k)?

  1. AОчередь FIFO последних k значений
  2. BMin-куча, хранящая все n значений, из которой в конце извлекаются k наименьших
  3. CОтсортированный массив всех n значений
  4. DMax-куча размера k, корень которой заменяется, когда приходит меньшее значение
5.Теория графовСредняя

Связный граф имеет 16 вершин и 18 рёбер. Сколько рёбер, k, нужно удалить, чтобы осталось остовное дерево?

|V| = 16|E| = 18
k =
6.Теория графовСложная
1513103169ABCDE

Найдите суммарный вес W минимального остовного дерева взвешенного графа.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · O(2ⁿ)

Почему это ответ

Число вызовов удваивается на каждом уровне, а уровней n, поэтому итого около 2ⁿ, как в задаче о Ханойских башнях.

Ответ

C · O(2ⁿ)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · Ориентированных ациклических графов

Почему это ответ

Топологический порядок существует тогда и только тогда, когда в ориентированном графе нет циклов; его можно найти за O(V + E) с помощью DFS или алгоритма Кана.

Ответ

C · Ориентированных ациклических графов
3.Структуры данных

Ответ: B · n (дерево превращается в связный список)

Почему это ответ

Вставка отсортированных ключей создаёт вырожденное дерево высотой n, и поиск становится O(n). Сбалансированные деревья это предотвращают.

Ответ

B · n (дерево превращается в связный список)
4.Структуры данных

Ответ: D · Max-куча размера k, корень которой заменяется, когда приходит меньшее значение

Почему это ответ

Корень max-кучи — наибольшее из хранимых значений; любое меньшее новое значение заменяет его за O(log k), поэтому куча всегда содержит k наименьших значений на данный момент.

Ответ

D · Max-куча размера k, корень которой заменяется, когда приходит меньшее значение
5.Теория графов

Ответ: k = 3

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Рёбра остовного дерева

16 − 1 = 15

Рёбра для удаления

k = 18 − 15 = 3

Ответ

k = 3
6.Теория графов

Ответ: W = 19

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Краскала

AB (1): берём
CE (3): берём
AC (5): берём
BE (9): пропускаем, замыкает цикл
BD (10): берём

Суммарный вес

W = 1 + 3 + 5 + 10 = 19

Ответ

W = 19

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms