Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Каково решение рекуррентного соотношения T(n) = T(n − 1) + O(n)?

  1. AO(n²)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Алгоритм Штрассена умножает матрицы, используя 7 вместо 8 рекурсивных умножений блоков половинного размера. Каково время его работы?

  1. AΘ(n² log n)
  2. BΘ(n³)
  3. CΘ(nlog₂ 7), примерно n2,81
  4. DΘ(n2)
3.Структуры данныхСредняя

Префиксное дерево (trie) особенно эффективно для:

  1. AПоиска по префиксу, например автодополнения
  2. BСортировки чисел
  3. CХранения матриц
  4. DПоиска кратчайших путей
4.Структуры данныхСложная

Какая пара обходов всегда однозначно определяет двоичное дерево с различными ключами?

  1. AПрямой и обратный (preorder и postorder)
  2. BПрямой и симметричный (preorder и inorder)
  3. CОдин только прямой
  4. DОдин только обход по уровням
5.Теория графовСредняя

Связный граф имеет 16 вершин и 22 рёбер. Сколько рёбер, k, нужно удалить, чтобы осталось остовное дерево?

|V| = 16|E| = 22
k =
6.Теория графовСложная
461112211914ABCDEF

С помощью алгоритма Дейкстры найдите длину d(F) кратчайшего пути от A до F во взвешенном графе.

начало: Aконец: F
d(F) =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · O(n²)

Почему это ответ

Работа в сумме составляет около n² / 2; это рекуррентное соотношение сортировки выбором или быстрой сортировки с худшим опорным элементом.

Ответ

A · O(n²)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · Θ(nlog₂ 7), примерно n2,81

Почему это ответ

При a = 7 и b = 2 член nlog₂ 7 доминирует над работой сложения O(n²), что даёт примерно n2,81.

Ответ

C · Θ(nlog₂ 7), примерно n2,81
3.Структуры данных

Ответ: A · Поиска по префиксу, например автодополнения

Почему это ответ

Trie хранит строки посимвольно вдоль путей, поэтому поиск и запросы по префиксу занимают время, пропорциональное длине ключа.

Ответ

A · Поиска по префиксу, например автодополнения
4.Структуры данных

Ответ: B · Прямой и симметричный (preorder и inorder)

Почему это ответ

Прямой обход даёт корень, а его позиция в симметричной последовательности разделяет левое и правое поддеревья; прямой обход вместе с обратным неоднозначен, когда у узла один потомок.

Ответ

B · Прямой и симметричный (preorder и inorder)
5.Теория графов

Ответ: k = 7

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Рёбра остовного дерева

16 − 1 = 15

Рёбра для удаления

k = 22 − 15 = 7

Ответ

k = 7
6.Теория графов

Ответ: d(F) = 22

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

В каждой строке: зафиксированная вершина, её окончательное расстояние и соседи, у которых расстояние улучшается.

A (0): B: 4, C: 6
B (4): D: 16
C (6): E: 8
E (8): F: 22
D (16)
F (22)

Кратчайший путь

A → C → E → F
d(F) = 22

Ответ

d(F) = 22

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms