Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Поиск в ширину в невзвешенном графе находит:

  1. AТопологический порядок в любом графе
  2. BМинимальное остовное дерево
  3. CКратчайшие пути (по числу рёбер) от начальной вершины
  4. DКратчайшие пути в графах, содержащих рёбра с отрицательными весами
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Каково решение рекуррентного соотношения T(n) = 2T(n/2) + n log n?

  1. AΘ(n log² n)
  2. BΘ(n)
  3. CΘ(n²)
  4. DΘ(n log n)
3.Структуры данныхСредняя

Какая структура данных используется, чтобы проверить, сбалансированы ли скобки в «{[()]}»?

  1. AСтек
  2. BОчередь
  3. CДвоичное дерево поиска
  4. DХеш-таблица
4.Структуры данныхСложная

Динамический массив удваивается при заполнении. Почему многие реализации уменьшают его, только когда он заполнен на четверть, а не наполовину?

  1. AЧтобы массив оставался отсортированным
  2. BПотому что распределитель памяти может освобождать память только четвертями блока
  3. CПотому что уменьшение вдвое при половинном заполнении привело бы к потере элементов
  4. DЧтобы избежать повторных изменений размера, когда push и pop чередуются вблизи границы
5.Теория графовСредняя

У дерева 4 вершин степени 3, 3 вершин степени 4, 3 вершин степени 5, а все остальные его вершины — листья (степень 1). Сколько у него листьев, L?

4 × deg 33 × deg 43 × deg 5
L =
6.Теория графовСложная
1513135105133ABCDEF

Алгоритм Дейкстры запускается из A. Нажмите на вершину, которая фиксируется (становится постоянной) на шаге 3; сама A фиксируется на шаге 1.

начало: Aшаг 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · Кратчайшие пути (по числу рёбер) от начальной вершины

Почему это ответ

BFS посещает вершины в порядке расстояния (в рёбрах) от источника, поэтому находит кратчайшие пути в невзвешенном графе за O(V + E).

Ответ

C · Кратчайшие пути (по числу рёбер) от начальной вершины
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · Θ(n log² n)

Почему это ответ

Уровень k выполняет около n log(n / 2ᵏ) работы, и суммирование по log n уровням даёт Θ(n log² n) — расширенный второй случай основной теоремы.

Ответ

A · Θ(n log² n)
3.Структуры данных

Ответ: A · Стек

Почему это ответ

Каждую открывающую скобку помещают в стек (push), а при появлении закрывающей извлекают (pop); она должна соответствовать извлечённой, а в конце стек должен быть пуст.

Ответ

A · Стек
4.Структуры данных

Ответ: D · Чтобы избежать повторных изменений размера, когда push и pop чередуются вблизи границы

Почему это ответ

Уменьшение при половинном заполнении в такой последовательности могло бы вызывать изменение размера на каждой операции; промежуток между 1/4 и полным заполнением сохраняет амортизированную стоимость O(1).

Ответ

D · Чтобы избежать повторных изменений размера, когда push и pop чередуются вблизи границы
5.Теория графов

Ответ: L = 21

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Лемма о рукопожатиях для дерева

L + 39 = 2(L + 10) − 2
L = 21

Ответ

L = 21

Короткий путь: L = 2 + Σ (d − 2) по вершинам степени d ≥ 3.

6.Теория графов

Ответ: B

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

1. A (0): B: 15, C: 13
2. C (13): E: 23
3. B (15): D: 20, E: 18
4. E (18)
5. D (20): F: 33
6. F (33)

шаг 3

B

Ответ

B

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms