Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Сколько уровней у рекурсии сортировки слиянием для массива из n элементов?

  1. AОколо √n
  2. BОколо n / 2
  3. CОколо n
  4. DОколо log₂ n
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Что нужно сделать, чтобы показать, что новая задача X NP-трудна?

  1. AПоказать, что у X нет полиномиального алгоритма для малых входов
  2. BСвести известную NP-трудную задачу к X за полиномиальное время
  3. CСвести X к известной NP-трудной задаче за полиномиальное время
  4. DПоказать, что X можно проверить за полиномиальное время
3.Структуры данныхСредняя

Какова временная сложность поиска ключа в сбалансированном двоичном дереве поиска?

  1. AO(1)
  2. BO(n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(log n)
4.Структуры данныхСложная

Структура union-find (система непересекающихся множеств) с объединением по рангу и сжатием путей имеет амортизированную стоимость операции:

  1. AO(n)
  2. BO(α(n)), обратная функция Аккермана, практически константа
  3. CO(n²)
  4. DРовно O(log n)
5.Теория графовСредняя
ABCDEЭйлеров циклЭйлеров путь, не циклни то, ни другое

Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Эйлеров цикл
  2. 2Эйлеров путь, не цикл
  3. 3ни то, ни другое
6.Теория графовСложная
54635121354ABCDEFG

С помощью алгоритма Дейкстры найдите длину d(F) кратчайшего пути от A до F во взвешенном графе.

начало: Aконец: F
d(F) =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · Около log₂ n

Почему это ответ

Деление пополам от n до 1 занимает около log₂ n уровней, и на каждом уровне выполняется O(n) работы по слиянию, что даёт O(n log n).

Ответ

D · Около log₂ n
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · Свести известную NP-трудную задачу к X за полиномиальное время

Почему это ответ

Если известную трудную задачу можно эффективно преобразовать в X, то быстрый алгоритм для X решал бы и известную задачу.

Ответ

B · Свести известную NP-трудную задачу к X за полиномиальное время
3.Структуры данных

Ответ: D · O(log n)

Почему это ответ

Сбалансированное дерево имеет высоту около log₂ n, поэтому поиск проходит по одному пути от корня до листа.

Ответ

D · O(log n)
4.Структуры данных

Ответ: B · O(α(n)), обратная функция Аккермана, практически константа

Почему это ответ

С обеими оптимизациями операции выполняются за амортизированное время O(α(n)); α(n) ≤ 4 для любого реалистичного n.

Ответ

B · O(α(n)), обратная функция Аккермана, практически константа
5.Теория графов

Ответ: Эйлеров цикл

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Степени

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Нечётные вершины

0
Эйлеров цикл

Ответ

Эйлеров цикл
6.Теория графов

Ответ: d(F) = 16

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

В каждой строке: зафиксированная вершина, её окончательное расстояние и соседи, у которых расстояние улучшается.

A (0): B: 5
B (5): C: 9, D: 11, G: 17
C (9)
D (11): E: 14, F: 16, G: 16
E (14)
F (16)
G (16)

Кратчайший путь

A → B → D → F
d(F) = 16

Ответ

d(F) = 16

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms