Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Какова временна́я сложность вычисления n-го числа Фибоначчи с помощью восходящей таблицы?

  1. AO(log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(2ⁿ)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Почему поиск в хеш-таблице в среднем имеет сложность O(1), а в худшем случае — O(n)?

  1. AДоступ к массивам имеет сложность O(n)
  2. BХеш-функции работают медленно
  3. CКлючи сначала нужно отсортировать
  4. DМногие ключи из-за коллизий могут попасть в одну и ту же корзину
3.Структуры данныхСредняя

Зачем нужен сторожевой (фиктивный, sentinel) узел в связном списке?

  1. AЧтобы список не мог вырасти сверх фиксированного максимального числа узлов
  2. BЧтобы список был отсортирован
  3. CЧтобы упростить код, убрав особые случаи в голове или хвосте
  4. DЧтобы хранить число элементов
4.Структуры данныхСложная

Какая структура позволяет вычислить максимум каждого окна размера k в массиве за общее время O(n)?

  1. AОтсортированный массив, обновляемый сдвигами
  2. BMin-куча, перестраиваемая для каждого окна
  3. CОдносвязный список элементов окна
  4. DДек, хранящий индексы в порядке убывания значений
5.Теория графовСредняя

Сколько различных гамильтоновых циклов, H, в полном графе K6? Циклы, отличающиеся только начальной вершиной или направлением, считаются одним и тем же.

K6
H =
6.Теория графовСложная
18316420126ABCDE

Алгоритм Прима строит минимальное остовное дерево, начиная с вершины A. Нажмите на ребро, которое он добавляет под номером 2.

начало: Ak = 2
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро AC
  3. 3ребро BC
  4. 4ребро BD
  5. 5ребро CE
  6. 6ребро DE
  7. 7ребро BE

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · O(n)

Почему это ответ

Заполнение таблицы от 0 до n требует одного сложения на элемент, поэтому работа линейна, а не экспоненциальна.

Ответ

C · O(n)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · Многие ключи из-за коллизий могут попасть в одну и ту же корзину

Почему это ответ

При хорошей хеш-функции и подходящем коэффициенте заполнения корзины в среднем остаются короткими; злонамеренно подобранные данные или плохое хеширование могут поместить все ключи в одну корзину.

Ответ

D · Многие ключи из-за коллизий могут попасть в одну и ту же корзину
3.Структуры данных

Ответ: C · Чтобы упростить код, убрав особые случаи в голове или хвосте

Почему это ответ

Со сторожевым узлом у каждого реального узла есть предшественник, поэтому вставка или удаление в голове не требуют особой обработки.

Ответ

C · Чтобы упростить код, убрав особые случаи в голове или хвосте
4.Структуры данных

Ответ: D · Дек, хранящий индексы в порядке убывания значений

Почему это ответ

Начало дека всегда содержит максимум окна; каждый индекс входит в дек и покидает его один раз, поэтому работа линейна.

Ответ

D · Дек, хранящий индексы в порядке убывания значений
5.Теория графов

Ответ: H = 60

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Посчитайте

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Ответ

H = 60
6.Теория графов

Ответ: ребро BC

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Прима

1. AC (3)
2. BC (16)
3. BD (4)
4. BE (6)

номер ребра 2

BC

Ответ

ребро BC

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms