Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях: Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Регулярный граф: |E| = n·k/2
Дерево и лес: |E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер: цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в K_n: (n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L: (Mᴸ)_ij

Метод

Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Какова временна́я сложность: for i = 1 to n: for j = 1 to i: выполнить работу O(1)?

AO(n²)
BO(n)
CO(n log n)
DO(n³)

2.Алгоритмы и сложностьСложная

Что нужно сделать, чтобы показать, что новая задача X NP-трудна?

AПоказать, что X можно проверить за полиномиальное время
BПоказать, что у X нет полиномиального алгоритма для малых входов
CСвести X к известной NP-трудной задаче за полиномиальное время
DСвести известную NP-трудную задачу к X за полиномиальное время

3.Структуры данныхСредняя

Сколько памяти занимают списки смежности для графа с V вершинами и E рёбрами?

AO(E²)
BO(V²)
CO(V × E)
DO(V + E)

4.Структуры данныхСложная

Для чего используется структура union-find в алгоритме Краскала построения минимального остовного дерева?

AДля хранения текущего расстояния каждой вершины от источника во время обхода
BДля выбора начальной вершины
CДля сортировки рёбер по весу
DДля проверки, соединены ли уже два конца ребра

5.Теория графовСредняя

Связный граф имеет 7 вершин и 17 рёбер. Сколько рёбер, k, нужно удалить, чтобы осталось остовное дерево?

|V| = 7|E| = 17

k =

6.Теория графовСложная

С помощью алгоритма Дейкстры найдите длину d(F) кратчайшего пути от A до F во взвешенном графе.

начало: Aконец: F

d(F) =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · O(n²)

Почему это ответ

Тело внутреннего цикла выполняется всего n(n + 1) / 2 раз, что по-прежнему квадратично.

Ответ

A · O(n²)

2.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · Свести известную NP-трудную задачу к X за полиномиальное время

Почему это ответ

Если известную трудную задачу можно эффективно преобразовать в X, то быстрый алгоритм для X решал бы и известную задачу.

Ответ

D · Свести известную NP-трудную задачу к X за полиномиальное время

3.Структуры данных

Ответ: D · O(V + E)

Почему это ответ

У каждой вершины есть список, а каждое ребро встречается один раз (ориентированный граф) или дважды (неориентированный), что даёт O(V + E).

Ответ

D · O(V + E)

4.Структуры данных

Ответ: D · Для проверки, соединены ли уже два конца ребра

Почему это ответ

Find показывает, лежат ли оба конца в одной компоненте; если нет, ребро добавляется, а union объединяет компоненты.

Ответ

D · Для проверки, соединены ли уже два конца ребра

5.Теория графов

Ответ: k = 11

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в K_n их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Рёбра остовного дерева

7 − 1 = 6

Рёбра для удаления

k = 17 − 6 = 11

Ответ

k = 11

6.Теория графов

Ответ: d(F) = 33

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

В каждой строке: зафиксированная вершина, её окончательное расстояние и соседи, у которых расстояние улучшается.

A (0): C: 15

C (15): B: 29, E: 28

E (28): D: 43, F: 33

B (29): D: 32

D (32)

F (33)

Кратчайший путь

A → C → E → F

d(F) = 33

Ответ

d(F) = 33

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms