Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Нижняя граница для сортировки сравнениями в худшем случае равна:

  1. AΩ(n log n)
  2. BΩ(n)
  3. CΩ(n²)
  4. DΩ(log n)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Если взять оба конца каждого ребра максимального (по включению) паросочетания, получится вершинное покрытие. Насколько оно хорошее?

  1. AНе более чем в log n раз больше минимума
  2. BНеизвестного качества по сравнению с оптимумом
  3. CНе более чем вдвое больше минимального вершинного покрытия
  4. DВсегда минимальное вершинное покрытие
3.Структуры данныхСредняя

Как вставляется новый элемент в двоичную кучу?

  1. AЕго помещают в конец массива и поднимают вверх (sift up), пока он нарушает свойство кучи
  2. BЕго вставляют в отсортированную позицию, сдвигая все бо́льшие элементы на одно место вправо
  3. CВсю кучу перестраивают с нуля
  4. DЕго помещают в корень и опускают вниз
4.Структуры данныхСложная

Каково при простом равномерном хешировании ожидаемое время поиска в хеш-таблице с цепочками, n ключами и m корзинами?

  1. AO(log n)
  2. BO(1 + α), где α = n / m
  3. CO(m)
  4. DO(n)
5.Теория графовСредняя

Сколько различных гамильтоновых циклов, H, в полном графе K5? Циклы, отличающиеся только начальной вершиной или направлением, считаются одним и тем же.

K5
H =
6.Теория графовСложная
169814231751810ABCDEFG

Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево. Нажмите на ребро, которое он добавляет под номером 2; пропущенные рёбра не считаются.

k = 2
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро AC
  3. 3ребро BC
  4. 4ребро BD
  5. 5ребро DE
  6. 6ребро DF
  7. 7ребро EF
  8. 8ребро GB
  9. 9ребро GC
  10. 10ребро GD

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · Ω(n log n)

Почему это ответ

Любой сортировке сравнениями в худшем случае требуется не менее log₂(n!) ≈ n log n сравнений. Сортировка подсчётом (counting sort) обходит эту границу, так как не сравнивает элементы.

Ответ

A · Ω(n log n)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · Не более чем вдвое больше минимального вершинного покрытия

Почему это ответ

Рёбра паросочетания не имеют общих вершин, поэтому оптимуму нужна хотя бы одна вершина на ребро, а этот метод берёт две: это 2-приближение.

Ответ

C · Не более чем вдвое больше минимального вершинного покрытия
3.Структуры данных

Ответ: A · Его помещают в конец массива и поднимают вверх (sift up), пока он нарушает свойство кучи

Почему это ответ

Добавление в конец сохраняет полноту дерева; обмены с родителем восстанавливают порядок за O(log n) шагов.

Ответ

A · Его помещают в конец массива и поднимают вверх (sift up), пока он нарушает свойство кучи
4.Структуры данных

Ответ: B · O(1 + α), где α = n / m

Почему это ответ

Вычисление хеша стоит O(1), а ожидаемая длина цепочки равна α, поэтому, если ограничивать α увеличением таблицы, ожидаемое время составит O(1).

Ответ

B · O(1 + α), где α = n / m
5.Теория графов

Ответ: H = 12

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Посчитайте

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

Ответ

H = 12
6.Теория графов

Ответ: ребро DF

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Краскала

1. DE (2)
2. DF (3)
3. GB (5)
4. BC (8)
5. AC (9)
6. GD (10)

номер ребра 2

DF

Ответ

ребро DF

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms