Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Что вычисляет алгоритм Флойда–Уоршелла и как быстро?

  1. AКратчайшие пути между всеми парами вершин за O(V³)
  2. BМинимальное остовное дерево за O(E log V)
  3. CКратчайшие пути из одной исходной вершины до всех остальных за O(V + E)
  4. DТопологический порядок за O(V²)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Какова временна́я сложность: for i = 1 to n: for (j = i; j ≤ n; j = j + i) выполнить работу O(1)?

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n √n)
3.Структуры данныхСредняя

Какова временная сложность поиска ключа в сбалансированном двоичном дереве поиска?

  1. AO(n)
  2. BO(1)
  3. CO(n log n)
  4. DO(log n)
4.Структуры данныхСложная

Фильтр Блума может ответить на вопрос «принадлежит ли этот элемент множеству?»:

  1. AС возможными ложноположительными, но без ложноотрицательных результатов
  2. BС возможными ложноотрицательными, но без ложноположительных результатов
  3. CВсегда точно
  4. DТолько для чисел
5.Теория графовСредняя

Связный граф имеет 20 вершин и 23 рёбер. Сколько рёбер, k, нужно удалить, чтобы осталось остовное дерево?

|V| = 20|E| = 23
k =
6.Теория графовСложная
1817915510141211ABCDEFG

Алгоритм Прима строит минимальное остовное дерево, начиная с вершины E. Нажмите на ребро, которое он добавляет под номером 2.

начало: Ek = 2
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро AC
  3. 3ребро BC
  4. 4ребро CE
  5. 5ребро DF
  6. 6ребро EF
  7. 7ребро GB
  8. 8ребро GC
  9. 9ребро GE

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · Кратчайшие пути между всеми парами вершин за O(V³)

Почему это ответ

Флойд–Уоршелл — алгоритм динамического программирования, который по очереди допускает каждую вершину как промежуточную точку и использует время O(V³).

Ответ

A · Кратчайшие пути между всеми парами вершин за O(V³)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · O(n log n)

Почему это ответ

Итог равен n / 1 + n / 2 + ... + n / n = n × Hn, а гармоническое число Hn есть Θ(log n).

Ответ

B · O(n log n)
3.Структуры данных

Ответ: D · O(log n)

Почему это ответ

Сбалансированное дерево имеет высоту около log₂ n, поэтому поиск проходит по одному пути от корня до листа.

Ответ

D · O(log n)
4.Структуры данных

Ответ: A · С возможными ложноположительными, но без ложноотрицательных результатов

Почему это ответ

Если любой бит для элемента равен 0, элемента точно нет; если все равны 1, он, вероятно, есть. Фильтры Блума жертвуют точностью ради очень малого объёма памяти.

Ответ

A · С возможными ложноположительными, но без ложноотрицательных результатов
5.Теория графов

Ответ: k = 4

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Рёбра остовного дерева

20 − 1 = 19

Рёбра для удаления

k = 23 − 19 = 4

Ответ

k = 4
6.Теория графов

Ответ: ребро DF

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Прима

1. EF (10)
2. DF (5)
3. GE (11)
4. GC (12)
5. BC (9)
6. AC (17)

номер ребра 2

DF

Ответ

ребро DF

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms