Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Что вычисляет алгоритм Флойда–Уоршелла и как быстро?

  1. AКратчайшие пути из одной исходной вершины до всех остальных за O(V + E)
  2. BКратчайшие пути между всеми парами вершин за O(V³)
  3. CМинимальное остовное дерево за O(E log V)
  4. DТопологический порядок за O(V²)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Какой приём обеспечивает ожидаемое время работы O(n log n) для быстрой сортировки на любых входных данных?

  1. AСортировка входных данных перед запуском быстрой сортировки
  2. BВыбор опорного элемента случайно с равномерным распределением
  3. CПрименение рекурсии только к левой части
  4. DВыбор всегда первого элемента
3.Структуры данныхСредняя

Как работает extract-min в двоичной min-куче?

  1. AУдаляют корень и сдвигают все элементы на одну позицию влево
  2. BУдаляют последний элемент массива
  3. CИщут новый минимум среди всех листьев
  4. DПоследний элемент перемещают в корень и опускают вниз (sift down)
4.Структуры данныхСложная

Какова стоимость одной операции find в худшем случае в структуре union-find с n элементами без объединения по рангу и сжатия путей?

  1. AO(n)
  2. BO(1)
  3. CO(α(n))
  4. DO(log n)
5.Теория графовСредняя
ABCDEЭйлеров циклЭйлеров путь, не циклни то, ни другое

Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.

|V| = 5|E| = 7
  1. 1Эйлеров цикл
  2. 2Эйлеров путь, не цикл
  3. 3ни то, ни другое
6.Теория графовСложная
8212144124287ABCDEFG

Алгоритм Дейкстры запускается из A. Нажмите на вершину, которая фиксируется (становится постоянной) на шаге 3; сама A фиксируется на шаге 1.

начало: Aшаг 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · Кратчайшие пути между всеми парами вершин за O(V³)

Почему это ответ

Флойд–Уоршелл — алгоритм динамического программирования, который по очереди допускает каждую вершину как промежуточную точку и использует время O(V³).

Ответ

B · Кратчайшие пути между всеми парами вершин за O(V³)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · Выбор опорного элемента случайно с равномерным распределением

Почему это ответ

При случайном опорном элементе ожидаемое время работы составляет O(n log n) для любых входных данных; плохие случаи по-прежнему существуют, но крайне маловероятны.

Ответ

B · Выбор опорного элемента случайно с равномерным распределением
3.Структуры данных

Ответ: D · Последний элемент перемещают в корень и опускают вниз (sift down)

Почему это ответ

Последний элемент заполняет «дыру» в корне и меняется местами с меньшим потомком, пока не выполнится свойство кучи; это занимает O(log n).

Ответ

D · Последний элемент перемещают в корень и опускают вниз (sift down)
4.Структуры данных

Ответ: A · O(n)

Почему это ответ

Наивные объединения могут связать деревья в длинную цепочку, и find придётся пройти n − 1 указателей на родителя; две эвристики приближают стоимость к константе.

Ответ

A · O(n)
5.Теория графов

Ответ: Эйлеров путь, не цикл

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Степени

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3

Нечётные вершины

C, E → 2
Эйлеров путь, не цикл

Ответ

Эйлеров путь, не цикл

Эйлеров путь начинается в одной нечётной вершине и заканчивается в другой.

6.Теория графов

Ответ: G

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

1. A (0): B: 8, C: 2
2. C (2): E: 6, G: 4
3. G (4): D: 12
4. E (6): F: 10
5. B (8)
6. F (10)
7. D (12)

шаг 3

G

Ответ

G

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms