Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Почему многие библиотечные процедуры сортировки переходят на сортировку вставками для очень маленьких подмассивов?

  1. AРекурсивные алгоритмы не справляются с массивами меньше 10 элементов
  2. BСортировка вставками использует меньше памяти, чем любой другой алгоритм сортировки, на больших входах
  3. CСортировка вставками имеет сложность O(n log n) в худшем случае
  4. DУ сортировки вставками малые накладные расходы, и она быстра на маленьких или почти отсортированных входах
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Каково время работы алгоритма Дейкстры с двоичной кучей на графе с V вершинами и E рёбрами?

  1. AO((V + E) log V)
  2. BO(V³)
  3. CO(V + E)
  4. DO(V × E)
3.Структуры данныхСредняя

Какова высота двоичного дерева поиска с n узлами в худшем случае, если ключи вставляются в отсортированном порядке?

  1. Alog₂ n
  2. B√n
  3. Cn (дерево превращается в связный список)
  4. D1
4.Структуры данныхСложная

Какова стоимость одной операции find в худшем случае в структуре union-find с n элементами без объединения по рангу и сжатия путей?

  1. AO(α(n))
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(1)
5.Теория графовСредняя

Сколько различных гамильтоновых циклов, H, в полном графе K8? Циклы, отличающиеся только начальной вершиной или направлением, считаются одним и тем же.

K8
H =
6.Теория графовСложная
9610513641ABCDEF

С помощью алгоритма Дейкстры найдите длину d(F) кратчайшего пути от A до F во взвешенном графе.

начало: Aконец: F
d(F) =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · У сортировки вставками малые накладные расходы, и она быстра на маленьких или почти отсортированных входах

Почему это ответ

При малых n простой цикл сортировки вставками выигрывает у накладных расходов рекурсии быстрой сортировки или сортировки слиянием, хотя он O(n²).

Ответ

D · У сортировки вставками малые накладные расходы, и она быстра на маленьких или почти отсортированных входах
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · O((V + E) log V)

Почему это ответ

Выполняется V операций извлечения минимума и до E операций уменьшения ключа, каждая за O(log V); фибоначчиева куча улучшает это до O(E + V log V).

Ответ

A · O((V + E) log V)
3.Структуры данных

Ответ: C · n (дерево превращается в связный список)

Почему это ответ

Вставка отсортированных ключей создаёт вырожденное дерево высотой n, и поиск становится O(n). Сбалансированные деревья это предотвращают.

Ответ

C · n (дерево превращается в связный список)
4.Структуры данных

Ответ: B · O(n)

Почему это ответ

Наивные объединения могут связать деревья в длинную цепочку, и find придётся пройти n − 1 указателей на родителя; две эвристики приближают стоимость к константе.

Ответ

B · O(n)
5.Теория графов

Ответ: H = 2520

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Посчитайте

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Ответ

H = 2520
6.Теория графов

Ответ: d(F) = 18

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

В каждой строке: зафиксированная вершина, её окончательное расстояние и соседи, у которых расстояние улучшается.

A (0): B: 9, C: 6
C (6): E: 19
B (9): D: 14
D (14): F: 18
F (18)
E (19)

Кратчайший путь

A → B → D → F
d(F) = 18

Ответ

d(F) = 18

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms