Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Почему многие библиотечные процедуры сортировки переходят на сортировку вставками для очень маленьких подмассивов?

  1. AРекурсивные алгоритмы не справляются с массивами меньше 10 элементов
  2. BСортировка вставками имеет сложность O(n log n) в худшем случае
  3. CСортировка вставками использует меньше памяти, чем любой другой алгоритм сортировки, на больших входах
  4. DУ сортировки вставками малые накладные расходы, и она быстра на маленьких или почти отсортированных входах
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Что нужно сделать, чтобы показать, что новая задача X NP-трудна?

  1. AСвести известную NP-трудную задачу к X за полиномиальное время
  2. BСвести X к известной NP-трудной задаче за полиномиальное время
  3. CПоказать, что X можно проверить за полиномиальное время
  4. DПоказать, что у X нет полиномиального алгоритма для малых входов
3.Структуры данныхСредняя

Почему обход массива на практике часто гораздо быстрее обхода связного списка той же длины?

  1. AСвязные списки всегда хранят элементы на диске
  2. BОбход массива занимает в сумме O(1), а связного списка — O(n)
  3. CМассивы требуют меньше инструкций для сравнения значений
  4. DЭлементы массива расположены непрерывно, поэтому хорошо используют кэш процессора
4.Структуры данныхСложная

Почему в хеш-таблице с открытой адресацией удаление часто выполняют с помощью метки «надгробие» (tombstone)?

  1. AЭто делает таблицу отсортированной
  2. BУдалённые ключи нужно хранить вечно из соображений безопасности, поэтому ячейки нельзя использовать повторно
  3. CОсвобождение ячейки могло бы разорвать последовательность пробирования для других ключей
  4. DНадгробия ускоряют хеширование
5.Теория графовСредняя

Связный граф имеет 15 вершин и 16 рёбер. Сколько рёбер, k, нужно удалить, чтобы осталось остовное дерево?

|V| = 15|E| = 16
k =
6.Теория графовСложная
6153914911711ABCDEFG

С помощью алгоритма Дейкстры найдите длину d(F) кратчайшего пути от A до F во взвешенном графе.

начало: Aконец: F
d(F) =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · У сортировки вставками малые накладные расходы, и она быстра на маленьких или почти отсортированных входах

Почему это ответ

При малых n простой цикл сортировки вставками выигрывает у накладных расходов рекурсии быстрой сортировки или сортировки слиянием, хотя он O(n²).

Ответ

D · У сортировки вставками малые накладные расходы, и она быстра на маленьких или почти отсортированных входах
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · Свести известную NP-трудную задачу к X за полиномиальное время

Почему это ответ

Если известную трудную задачу можно эффективно преобразовать в X, то быстрый алгоритм для X решал бы и известную задачу.

Ответ

A · Свести известную NP-трудную задачу к X за полиномиальное время
3.Структуры данных

Ответ: D · Элементы массива расположены непрерывно, поэтому хорошо используют кэш процессора

Почему это ответ

Непрерывная память обеспечивает хорошую локальность обращений, а связанные узлы могут быть разбросаны и вызывать много промахов кэша.

Ответ

D · Элементы массива расположены непрерывно, поэтому хорошо используют кэш процессора
4.Структуры данных

Ответ: C · Освобождение ячейки могло бы разорвать последовательность пробирования для других ключей

Почему это ответ

Если бы удалённая ячейка стала пустой, последующие поиски могли бы остановиться слишком рано и пропустить ключи, размещённые дальше в цепочке пробирования.

Ответ

C · Освобождение ячейки могло бы разорвать последовательность пробирования для других ключей
5.Теория графов

Ответ: k = 2

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Рёбра остовного дерева

15 − 1 = 14

Рёбра для удаления

k = 16 − 14 = 2

Ответ

k = 2
6.Теория графов

Ответ: d(F) = 23

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

В каждой строке: зафиксированная вершина, её окончательное расстояние и соседи, у которых расстояние улучшается.

A (0): B: 6, C: 15
B (6): D: 9, G: 17
D (9): F: 23, G: 16
C (15): E: 24
G (16)
F (23)
E (24)

Кратчайший путь

A → B → D → F
d(F) = 23

Ответ

d(F) = 23

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms