Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Какой алгоритм находит кратчайшие пути из одного источника в графе с неотрицательными весами рёбер?

  1. AВо всех случаях требуется алгоритм Беллмана–Форда
  2. BАлгоритм Краскала
  3. CПоиск в глубину (DFS)
  4. DАлгоритм Дейкстры
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Какой приём обеспечивает ожидаемое время работы O(n log n) для быстрой сортировки на любых входных данных?

  1. AВыбор всегда первого элемента
  2. BВыбор опорного элемента случайно с равномерным распределением
  3. CСортировка входных данных перед запуском быстрой сортировки
  4. DПрименение рекурсии только к левой части
3.Структуры данныхСредняя

Очередь реализована двумя стеками: push в стек «in», pop из стека «out», который при опустошении заполняется из «in». Какова амортизированная стоимость одной операции?

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(1)
  4. DO(log n)
4.Структуры данныхСложная

В кольцевом буфере front == rear может означать и «пуст», и «полон». Какой распространённый способ их различить?

  1. AВсегда очищать буфер, когда front равен rear, так что состояние — пустой
  2. BХранить front и rear в одной переменной
  3. CХранить отдельный счётчик элементов или всегда оставлять одну ячейку свободной
  4. DДелать размер буфера степенью двойки
5.Теория графовСредняя

Сколько различных гамильтоновых циклов, H, в полном графе K5? Циклы, отличающиеся только начальной вершиной или направлением, считаются одним и тем же.

K5
H =
6.Теория графовСложная
51013621110ABCDEF

С помощью алгоритма Дейкстры найдите длину d(F) кратчайшего пути от A до F во взвешенном графе.

начало: Aконец: F
d(F) =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · Алгоритм Дейкстры

Почему это ответ

Алгоритм Дейкстры работает с неотрицательными весами; алгоритм Беллмана–Форда допускает отрицательные веса; алгоритм Краскала строит минимальные остовные деревья.

Ответ

D · Алгоритм Дейкстры
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · Выбор опорного элемента случайно с равномерным распределением

Почему это ответ

При случайном опорном элементе ожидаемое время работы составляет O(n log n) для любых входных данных; плохие случаи по-прежнему существуют, но крайне маловероятны.

Ответ

B · Выбор опорного элемента случайно с равномерным распределением
3.Структуры данных

Ответ: C · O(1)

Почему это ответ

Каждый элемент помещается и извлекается в сумме не более двух раз, поэтому, хотя одно перезаполнение может занять O(n), в среднем по последовательности операций выходит O(1).

Ответ

C · O(1)
4.Структуры данных

Ответ: C · Хранить отдельный счётчик элементов или всегда оставлять одну ячейку свободной

Почему это ответ

Со счётчиком «пуст» означает count = 0, а «полон» — count = ёмкость; при одной свободной ячейке «полон» определяется как (rear + 1) mod n == front.

Ответ

C · Хранить отдельный счётчик элементов или всегда оставлять одну ячейку свободной
5.Теория графов

Ответ: H = 12

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Посчитайте

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

Ответ

H = 12
6.Теория графов

Ответ: d(F) = 21

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

В каждой строке: зафиксированная вершина, её окончательное расстояние и соседи, у которых расстояние улучшается.

A (0): B: 5, C: 10
B (5): C: 6, D: 8, E: 15
C (6): E: 12
D (8): E: 10
E (10): F: 21
F (21)

Кратчайший путь

A → B → D → E → F
d(F) = 21

Ответ

d(F) = 21

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms