Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Почему основание логарифма в O большом обычно не указывают, как в O(log n)?

  1. AОснование имеет значение только при малых n
  2. BВсе логарифмы в информатике имеют основание 10, так что оно подразумевается
  3. CЛогарифмы всегда округляются до целых
  4. DЛогарифмы по разным основаниям отличаются лишь постоянным множителем
2.Алгоритмы и сложностьСложная

По основной теореме (master theorem) решением T(n) = 8T(n/2) + O(n²) является:

  1. AΘ(n³)
  2. BΘ(n² log n)
  3. CΘ(n log n)
  4. DΘ(n²)
3.Структуры данныхСредняя

Какую структуру данных использует поиск в глубину (DFS, итеративная версия)?

  1. AТолько хеш-таблицу
  2. BСтек
  3. CОчередь
  4. DКучу
4.Структуры данныхСложная

В кольцевом буфере front == rear может означать и «пуст», и «полон». Какой распространённый способ их различить?

  1. AХранить отдельный счётчик элементов или всегда оставлять одну ячейку свободной
  2. BВсегда очищать буфер, когда front равен rear, так что состояние — пустой
  3. CДелать размер буфера степенью двойки
  4. DХранить front и rear в одной переменной
5.Теория графовСредняя

У дерева 2 вершин степени 3, 2 вершин степени 4, 2 вершин степени 5, а все остальные его вершины — листья (степень 1). Сколько у него листьев, L?

2 × deg 32 × deg 42 × deg 5
L =
6.Теория графовСложная
101281255103ABCDEF

С помощью алгоритма Дейкстры найдите длину d(F) кратчайшего пути от A до F во взвешенном графе.

начало: Aконец: F
d(F) =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · Логарифмы по разным основаниям отличаются лишь постоянным множителем

Почему это ответ

Смена основания умножает логарифм на константу, а O большое игнорирует постоянные множители.

Ответ

D · Логарифмы по разным основаниям отличаются лишь постоянным множителем
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · Θ(n³)

Почему это ответ

log₂ 8 = 3, а n² растёт медленнее, чем n³, поэтому доминируют листья: Θ(n³).

Ответ

A · Θ(n³)
3.Структуры данных

Ответ: B · Стек

Почему это ответ

DFS углубляется как можно дальше, естественно используя стек (или стек вызовов рекурсии); BFS использует очередь.

Ответ

B · Стек
4.Структуры данных

Ответ: A · Хранить отдельный счётчик элементов или всегда оставлять одну ячейку свободной

Почему это ответ

Со счётчиком «пуст» означает count = 0, а «полон» — count = ёмкость; при одной свободной ячейке «полон» определяется как (rear + 1) mod n == front.

Ответ

A · Хранить отдельный счётчик элементов или всегда оставлять одну ячейку свободной
5.Теория графов

Ответ: L = 14

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Лемма о рукопожатиях для дерева

L + 24 = 2(L + 6) − 2
L = 14

Ответ

L = 14

Короткий путь: L = 2 + Σ (d − 2) по вершинам степени d ≥ 3.

6.Теория графов

Ответ: d(F) = 23

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

В каждой строке: зафиксированная вершина, её окончательное расстояние и соседи, у которых расстояние улучшается.

A (0): B: 10, C: 12
B (10): D: 22, E: 13
C (12)
E (13): D: 18, F: 23
D (18)
F (23)

Кратчайший путь

A → B → E → F
d(F) = 23

Ответ

d(F) = 23

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms