Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Поиск в ширину в невзвешенном графе находит:

  1. AТопологический порядок в любом графе
  2. BКратчайшие пути (по числу рёбер) от начальной вершины
  3. CКратчайшие пути в графах, содержащих рёбра с отрицательными весами
  4. DМинимальное остовное дерево
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Какова амортизированная стоимость инкремента двоичного счётчика, если один инкремент может изменить много битов?

  1. AO(n log n) на инкремент
  2. BO(1) на инкремент
  3. CO(n) на инкремент
  4. DO(log n) на инкремент
3.Структуры данныхСредняя

Сколько узлов в идеальном (perfect) двоичном дереве высоты h, если высота считается в рёбрах?

  1. A2h
  2. B2h + 1
  3. C2h+1 − 1
  4. Dh2
4.Структуры данныхСложная

Почему из стандартного фильтра Блума нельзя просто удалить элементы, обнулив их биты?

  1. AУдаление повысило бы долю ложноположительных результатов до 100%
  2. BФильтры Блума хранят элементы целиком, и их невозможно снова найти после хеширования
  3. CЭти биты могут принадлежать и другим элементам, что вызвало бы ложноотрицательные результаты
  4. DБиты фильтра Блума нельзя менять после создания
5.Теория графовСредняя

Сколько различных гамильтоновых циклов, H, в полном графе K5? Циклы, отличающиеся только начальной вершиной или направлением, считаются одним и тем же.

K5
H =
6.Теория графовСложная
6141041591215ABCDEF

С помощью алгоритма Дейкстры найдите длину d(F) кратчайшего пути от A до F во взвешенном графе.

начало: Aконец: F
d(F) =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · Кратчайшие пути (по числу рёбер) от начальной вершины

Почему это ответ

BFS посещает вершины в порядке расстояния (в рёбрах) от источника, поэтому находит кратчайшие пути в невзвешенном графе за O(V + E).

Ответ

B · Кратчайшие пути (по числу рёбер) от начальной вершины
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · O(1) на инкремент

Почему это ответ

За n инкрементов бит i меняется около n / 2ⁱ раз, поэтому всего меньше 2n изменений, в среднем O(1) на каждый.

Ответ

B · O(1) на инкремент
3.Структуры данных

Ответ: C · 2h+1 − 1

Почему это ответ

Сумма 1 + 2 + 4 + ... + 2h равна 2h+1 − 1; например, высота 2 даёт 7 узлов.

Ответ

C · 2h+1 − 1
4.Структуры данных

Ответ: C · Эти биты могут принадлежать и другим элементам, что вызвало бы ложноотрицательные результаты

Почему это ответ

Обнуление общего бита сделало бы другой элемент якобы отсутствующим; считающие фильтры Блума (counting Bloom filters) хранят счётчики вместо битов, чтобы разрешить удаление.

Ответ

C · Эти биты могут принадлежать и другим элементам, что вызвало бы ложноотрицательные результаты
5.Теория графов

Ответ: H = 12

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Посчитайте

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

Ответ

H = 12
6.Теория графов

Ответ: d(F) = 19

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

В каждой строке: зафиксированная вершина, её окончательное расстояние и соседи, у которых расстояние улучшается.

A (0): B: 6, C: 14
B (6): D: 10, E: 21
D (10): F: 19
C (14)
F (19)
E (21)

Кратчайший путь

A → B → D → F
d(F) = 19

Ответ

d(F) = 19

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms