Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Почему динамическое программирование не даёт реального ускорения для сортировки слиянием?

  1. AЕё подзадачи не перекрываются, поэтому нечего использовать повторно
  2. BУ сортировки слиянием нет рекурсивной структуры
  3. CДинамическое программирование работает только на задачах о графах, но не на массивах
  4. DСортировка слиянием уже работает за O(n)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Какая из этих задач выполнимости, как известно, решается за полиномиальное время?

  1. A3-SAT, где в каждом дизъюнкте ровно три литерала
  2. B2-SAT, где в каждом дизъюнкте не более двух литералов
  3. CВыполнимость схем
  4. DОбщая SAT для формул в конъюнктивной нормальной форме
3.Структуры данныхСредняя

Как работает extract-min в двоичной min-куче?

  1. AПоследний элемент перемещают в корень и опускают вниз (sift down)
  2. BИщут новый минимум среди всех листьев
  3. CУдаляют последний элемент массива
  4. DУдаляют корень и сдвигают все элементы на одну позицию влево
4.Структуры данныхСложная

В BST с корнем 50, левым поддеревом 30 (потомки 20, 40) и правым поддеревом 70 (потомки 60, 80) корень удаляют с помощью in-order преемника. Какой ключ станет новым корнем?

  1. A40
  2. B60
  3. C70
  4. D80
5.Теория графовСредняя

У дерева 4 вершин степени 3, 4 вершин степени 2, а все остальные его вершины — листья (степень 1). Сколько у него листьев, L?

4 × deg 34 × deg 2
L =
6.Теория графовСложная
121022154786ABCDEFG

С помощью алгоритма Дейкстры найдите длину d(F) кратчайшего пути от A до F во взвешенном графе.

начало: Aконец: F
d(F) =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · Её подзадачи не перекрываются, поэтому нечего использовать повторно

Почему это ответ

Половины в сортировке слиянием не пересекаются, и каждая решается один раз; ДП помогает только при повторяющихся подзадачах, как в числах Фибоначчи.

Ответ

A · Её подзадачи не перекрываются, поэтому нечего использовать повторно
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · 2-SAT, где в каждом дизъюнкте не более двух литералов

Почему это ответ

2-SAT лежит в P (линейное время через компоненты сильной связности), тогда как 3-SAT NP-полна.

Ответ

B · 2-SAT, где в каждом дизъюнкте не более двух литералов
3.Структуры данных

Ответ: A · Последний элемент перемещают в корень и опускают вниз (sift down)

Почему это ответ

Последний элемент заполняет «дыру» в корне и меняется местами с меньшим потомком, пока не выполнится свойство кучи; это занимает O(log n).

Ответ

A · Последний элемент перемещают в корень и опускают вниз (sift down)
4.Структуры данных

Ответ: B · 60

Почему это ответ

Самый левый узел правого поддерева — 60, поэтому 60 заменяет 50, а его прежняя позиция удаляется; при использовании предшественника получилось бы 40.

Ответ

B · 60
5.Теория графов

Ответ: L = 6

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Лемма о рукопожатиях для дерева

L + 20 = 2(L + 8) − 2
L = 6

Ответ

L = 6

Короткий путь: L = 2 + Σ (d − 2) по вершинам степени d ≥ 3.

6.Теория графов

Ответ: d(F) = 29

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

В каждой строке: зафиксированная вершина, её окончательное расстояние и соседи, у которых расстояние улучшается.

A (0): C: 12
C (12): G: 19
G (19): B: 23, D: 27, E: 25
B (23)
E (25): F: 40
D (27): F: 29
F (29)

Кратчайший путь

A → C → G → D → F
d(F) = 29

Ответ

d(F) = 29

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms