Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Какова временна́я сложность вычисления n-го числа Фибоначчи с помощью восходящей таблицы?

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(2ⁿ)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Как соотносятся n! и 2ⁿ при больших n?

  1. An! есть O(n²)
  2. Bn! растёт быстрее 2ⁿ
  3. CОни растут с одинаковой скоростью
  4. D2ⁿ растёт быстрее n!
3.Структуры данныхСредняя

В двоичной min-куче, хранящейся в массиве (индексация с 0), потомки узла с индексом i находятся на позициях:

  1. Ai + 1 и i + 2
  2. Bi/2 и i/2 + 1
  3. C2i и 2i + 1
  4. D2i + 1 и 2i + 2
4.Структуры данныхСложная

Почему базы данных часто используют для индексов B+ деревья, а не обычные B-деревья?

  1. AB+ деревья хранят данные только в корне
  2. BВсе записи находятся в связанных листьях, что делает сканирование диапазонов эффективным
  3. CB+ деревья используют двоичные внутренние узлы, что сокращает число чтений с диска
  4. DB+ деревья не нужно балансировать
5.Теория графовСредняя

У дерева 3 вершин степени 5, 2 вершин степени 2, а все остальные его вершины — листья (степень 1). Сколько у него листьев, L?

3 × deg 52 × deg 2
L =
6.Теория графовСложная
ABCDEF

Сколько существует маршрутов длины 2 из D в E? Маршрут может повторять вершины и рёбра. Обозначим это число N.

M = матрица смежностиL = 2
N =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · O(n)

Почему это ответ

Заполнение таблицы от 0 до n требует одного сложения на элемент, поэтому работа линейна, а не экспоненциальна.

Ответ

B · O(n)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · n! растёт быстрее 2ⁿ

Почему это ответ

При n ≥ 4 n! превышает 2ⁿ, и отношение растёт неограниченно, потому что каждый новый множитель n! больше 2.

Ответ

B · n! растёт быстрее 2ⁿ
3.Структуры данных

Ответ: D · 2i + 1 и 2i + 2

Почему это ответ

В массивах с индексацией от 0 левый потомок находится в 2i + 1, правый — в 2i + 2, а родитель — в ⌊(i − 1)/2⌋.

Ответ

D · 2i + 1 и 2i + 2
4.Структуры данных

Ответ: B · Все записи находятся в связанных листьях, что делает сканирование диапазонов эффективным

Почему это ответ

В B+ дереве внутренние узлы только направляют поиск, а листья связаны в порядке ключей, поэтому запрос по диапазону находит первый ключ и затем идёт по листьям.

Ответ

B · Все записи находятся в связанных листьях, что делает сканирование диапазонов эффективным
5.Теория графов

Ответ: L = 11

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Лемма о рукопожатиях для дерева

L + 19 = 2(L + 5) − 2
L = 11

Ответ

L = 11

Короткий путь: L = 2 + Σ (d − 2) по вершинам степени d ≥ 3.

6.Теория графов

Ответ: N = 1

Степени: степень вершины — это число рёбер, которые в ней сходятся. У каждого ребра два конца, поэтому степени в сумме дают удвоенное число рёбер: Σ deg(v) = 2|E| (лемма о рукопожатиях). Следовательно, число вершин нечётной степени чётно. У Kn имеется n(n − 1)/2 рёбер, у k-регулярного графа на n вершинах nk/2, а у дерева на n вершинах n − 1 ребро.

Матрица смежности

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 0 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 0 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Общие соседи

(M²)DE = 0·0 + 1·0 + 0·1 + 0·1 + 1·0 + 1·1 = 1

Ответ

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms