Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях: Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Регулярный граф: |E| = n·k/2
Дерево и лес: |E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер: цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в K_n: (n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L: (Mᴸ)_ij

Метод

Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Какова временна́я сложность: for i = 1 to n: (j = 1; while j < n: j = j × 2)?

AO(log n)
BO(n log n)
CO(n²)
DO(n)

2.Алгоритмы и сложностьСложная

Какие две вещи нужно показать, чтобы доказать NP-полноту задачи распознавания X?

AУ X нет полиномиального алгоритма, и X разрешима
BX лежит в NP, и известная NP-полная задача сводится к X за полиномиальное время
CX лежит в P, и X сводится к SAT
DX сводится к задаче из P, и X лежит в NP

3.Структуры данныхСредняя

Каков максимально возможный коэффициент заполнения хеш-таблицы с открытой адресацией?

A1
B0,5
CМаксимума нет
D2

4.Структуры данныхСложная

Временная сложность операции decrease-key в двоичной куче (при известной позиции элемента) составляет:

AO(n)
BO(log n)
CO(1)
DO(n log n)

5.Теория графовСредняя

Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.

|V| = 5|E| = 6

1Эйлеров цикл
2Эйлеров путь, не цикл
3ни то, ни другое

6.Теория графовСложная

С помощью алгоритма Дейкстры найдите длину d(F) кратчайшего пути от A до F во взвешенном графе.

начало: Aконец: F

d(F) =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · O(n log n)

Почему это ответ

Внутренний цикл выполняется около log₂ n раз для каждой из n внешних итераций, что даёт O(n log n).

Ответ

B · O(n log n)

2.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · X лежит в NP, и известная NP-полная задача сводится к X за полиномиальное время

Почему это ответ

Принадлежность к NP показывает, что X не сложнее NP; сведение известной NP-полной задачи показывает, что X не легче всего класса NP.

Ответ

B · X лежит в NP, и известная NP-полная задача сводится к X за полиномиальное время

3.Структуры данных

Ответ: A · 1

Почему это ответ

При открытой адресации все ключи хранятся в самой таблице, поэтому n не может превышать m; при методе цепочек коэффициент заполнения может быть больше 1.

Ответ

A · 1

4.Структуры данных

Ответ: B · O(log n)

Почему это ответ

После уменьшения ключа элемент поднимается не более чем на высоту кучи. Фибоначчиевы кучи достигают амортизированного decrease-key за O(1).

Ответ

B · O(log n)

5.Теория графов

Ответ: Эйлеров цикл

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в K_n их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Степени

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Нечётные вершины

Эйлеров цикл

Ответ

Эйлеров цикл

6.Теория графов

Ответ: d(F) = 15

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

В каждой строке: зафиксированная вершина, её окончательное расстояние и соседи, у которых расстояние улучшается.

A (0): B: 4, C: 14

B (4): D: 11, E: 11

D (11): F: 19

E (11): F: 15

C (14)

F (15)

Кратчайший путь

A → B → E → F

d(F) = 15

Ответ

d(F) = 15

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms