Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Почему многие библиотечные процедуры сортировки переходят на сортировку вставками для очень маленьких подмассивов?

  1. AСортировка вставками использует меньше памяти, чем любой другой алгоритм сортировки, на больших входах
  2. BРекурсивные алгоритмы не справляются с массивами меньше 10 элементов
  3. CУ сортировки вставками малые накладные расходы, и она быстра на маленьких или почти отсортированных входах
  4. DСортировка вставками имеет сложность O(n log n) в худшем случае
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Если взять оба конца каждого ребра максимального (по включению) паросочетания, получится вершинное покрытие. Насколько оно хорошее?

  1. AНе более чем вдвое больше минимального вершинного покрытия
  2. BВсегда минимальное вершинное покрытие
  3. CНеизвестного качества по сравнению с оптимумом
  4. DНе более чем в log n раз больше минимума
3.Структуры данныхСредняя

У двоичного дерева корень 1 с левым потомком 2 и правым потомком 3; у узла 2 потомки 4 (левый) и 5 (правый). Каков прямой обход (preorder)?

  1. A1 2 3 4 5
  2. B4 2 5 1 3
  3. C1 2 4 5 3
  4. D4 5 2 3 1
4.Структуры данныхСложная

Для чего используется структура union-find в алгоритме Краскала построения минимального остовного дерева?

  1. AДля хранения текущего расстояния каждой вершины от источника во время обхода
  2. BДля сортировки рёбер по весу
  3. CДля выбора начальной вершины
  4. DДля проверки, соединены ли уже два конца ребра
5.Теория графовСредняя

У дерева 4 вершин степени 5, 2 вершин степени 2, а все остальные его вершины — листья (степень 1). Сколько у него листьев, L?

4 × deg 52 × deg 2
L =
6.Теория графовСложная
1151415581533ABCDEFG

С помощью алгоритма Дейкстры найдите длину d(F) кратчайшего пути от A до F во взвешенном графе.

начало: Aконец: F
d(F) =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · У сортировки вставками малые накладные расходы, и она быстра на маленьких или почти отсортированных входах

Почему это ответ

При малых n простой цикл сортировки вставками выигрывает у накладных расходов рекурсии быстрой сортировки или сортировки слиянием, хотя он O(n²).

Ответ

C · У сортировки вставками малые накладные расходы, и она быстра на маленьких или почти отсортированных входах
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · Не более чем вдвое больше минимального вершинного покрытия

Почему это ответ

Рёбра паросочетания не имеют общих вершин, поэтому оптимуму нужна хотя бы одна вершина на ребро, а этот метод берёт две: это 2-приближение.

Ответ

A · Не более чем вдвое больше минимального вершинного покрытия
3.Структуры данных

Ответ: C · 1 2 4 5 3

Почему это ответ

Прямой обход посещает 1, затем его левое поддерево (2, 4, 5), затем 3; остальные варианты — симметричный, обратный обход и обход по уровням.

Ответ

C · 1 2 4 5 3
4.Структуры данных

Ответ: D · Для проверки, соединены ли уже два конца ребра

Почему это ответ

Find показывает, лежат ли оба конца в одной компоненте; если нет, ребро добавляется, а union объединяет компоненты.

Ответ

D · Для проверки, соединены ли уже два конца ребра
5.Теория графов

Ответ: L = 14

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Лемма о рукопожатиях для дерева

L + 24 = 2(L + 6) − 2
L = 14

Ответ

L = 14

Короткий путь: L = 2 + Σ (d − 2) по вершинам степени d ≥ 3.

6.Теория графов

Ответ: d(F) = 21

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

В каждой строке: зафиксированная вершина, её окончательное расстояние и соседи, у которых расстояние улучшается.

A (0): B: 11, C: 5
C (5): G: 20
B (11): D: 12, G: 19
D (12): E: 16, F: 27, G: 15
G (15)
E (16): F: 21
F (21)

Кратчайший путь

A → B → D → E → F
d(F) = 21

Ответ

d(F) = 21

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms