Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Какова временна́я сложность вычисления n-го числа Фибоначчи с помощью восходящей таблицы?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(log n)
  4. DO(2ⁿ)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Почему поиск в хеш-таблице в среднем имеет сложность O(1), а в худшем случае — O(n)?

  1. AКлючи сначала нужно отсортировать
  2. BМногие ключи из-за коллизий могут попасть в одну и ту же корзину
  3. CДоступ к массивам имеет сложность O(n)
  4. DХеш-функции работают медленно
3.Структуры данныхСредняя

Какой абстрактный тип данных использует алгоритм Дейкстры для выбора следующей обрабатываемой вершины?

  1. AОчередь FIFO
  2. BСтек
  3. CМножество без упорядочения
  4. DОчередь с приоритетом по минимуму
4.Структуры данныхСложная

Какому свойству должно удовлетворять красно-чёрное дерево?

  1. AКаждый путь от узла до его листьев-потомков содержит одинаковое число чёрных узлов
  2. BКорень должен быть красным
  3. CКаждый узел должен быть красным
  4. DУ каждого красного узла должны быть красные потомки, поэтому красные узлы всегда образуют непрерывные цепочки до листьев
5.Теория графовСредняя

У дерева 3 вершин степени 3, 3 вершин степени 4, 3 вершин степени 2, а все остальные его вершины — листья (степень 1). Сколько у него листьев, L?

3 × deg 33 × deg 43 × deg 2
L =
6.Теория графовСложная
1312651131012ABCDEF

Алгоритм Дейкстры запускается из A. Нажмите на вершину, которая фиксируется (становится постоянной) на шаге 5; сама A фиксируется на шаге 1.

начало: Aшаг 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · O(n)

Почему это ответ

Заполнение таблицы от 0 до n требует одного сложения на элемент, поэтому работа линейна, а не экспоненциальна.

Ответ

A · O(n)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · Многие ключи из-за коллизий могут попасть в одну и ту же корзину

Почему это ответ

При хорошей хеш-функции и подходящем коэффициенте заполнения корзины в среднем остаются короткими; злонамеренно подобранные данные или плохое хеширование могут поместить все ключи в одну корзину.

Ответ

B · Многие ключи из-за коллизий могут попасть в одну и ту же корзину
3.Структуры данных

Ответ: D · Очередь с приоритетом по минимуму

Почему это ответ

Очередь с приоритетом по минимуму, обычно двоичная куча, эффективно возвращает непосещённую вершину с наименьшим расстоянием.

Ответ

D · Очередь с приоритетом по минимуму
4.Структуры данных

Ответ: A · Каждый путь от узла до его листьев-потомков содержит одинаковое число чёрных узлов

Почему это ответ

Правила красно-чёрного дерева: узлы красные или чёрные, корень чёрный, потомки красных узлов чёрные, а все пути имеют одинаковую чёрную высоту, что удерживает высоту ≤ 2 log₂(n + 1).

Ответ

A · Каждый путь от узла до его листьев-потомков содержит одинаковое число чёрных узлов
5.Теория графов

Ответ: L = 11

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Лемма о рукопожатиях для дерева

L + 27 = 2(L + 9) − 2
L = 11

Ответ

L = 11

Короткий путь: L = 2 + Σ (d − 2) по вершинам степени d ≥ 3.

6.Теория графов

Ответ: F

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

1. A (0): C: 13
2. C (13): B: 25, E: 18
3. E (18): D: 29, F: 28
4. B (25)
5. F (28)
6. D (29)

шаг 5

F

Ответ

F

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms