Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Какова временна́я сложность стандартного алгоритма динамического программирования для наибольшей общей подпоследовательности строк длиной m и n?

  1. AO(mn)
  2. BO(mn log n)
  3. CO(2m+n)
  4. DO(m + n)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Какова временна́я сложность: for i = 1 to n: for (j = i; j ≤ n; j = j + i) выполнить работу O(1)?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n √n)
3.Структуры данныхСредняя

Какова стоимость вставки элемента в середину массива из n элементов?

  1. AO(n²), потому что каждый элемент сдвигается n раз
  2. BO(1), потому что индекс известен
  3. CO(n), потому что последующие элементы нужно сдвинуть
  4. DO(log n) из-за двоичного поиска
4.Структуры данныхСложная

Почему из стандартного фильтра Блума нельзя просто удалить элементы, обнулив их биты?

  1. AУдаление повысило бы долю ложноположительных результатов до 100%
  2. BБиты фильтра Блума нельзя менять после создания
  3. CФильтры Блума хранят элементы целиком, и их невозможно снова найти после хеширования
  4. DЭти биты могут принадлежать и другим элементам, что вызвало бы ложноотрицательные результаты
5.Теория графовСредняя

Связный граф имеет 16 вершин и 17 рёбер. Сколько рёбер, k, нужно удалить, чтобы осталось остовное дерево?

|V| = 16|E| = 17
k =
6.Теория графовСложная
127686162ABCDEF

С помощью алгоритма Дейкстры найдите длину d(F) кратчайшего пути от A до F во взвешенном графе.

начало: Aконец: F
d(F) =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · O(mn)

Почему это ответ

В таблице (m + 1)(n + 1) ячеек, и каждая вычисляется за O(1) из соседних.

Ответ

A · O(mn)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · O(n log n)

Почему это ответ

Итог равен n / 1 + n / 2 + ... + n / n = n × Hn, а гармоническое число Hn есть Θ(log n).

Ответ

A · O(n log n)
3.Структуры данных

Ответ: C · O(n), потому что последующие элементы нужно сдвинуть

Почему это ответ

Все элементы после места вставки сдвигаются на одну позицию вправо, что занимает время, пропорциональное n.

Ответ

C · O(n), потому что последующие элементы нужно сдвинуть
4.Структуры данных

Ответ: D · Эти биты могут принадлежать и другим элементам, что вызвало бы ложноотрицательные результаты

Почему это ответ

Обнуление общего бита сделало бы другой элемент якобы отсутствующим; считающие фильтры Блума (counting Bloom filters) хранят счётчики вместо битов, чтобы разрешить удаление.

Ответ

D · Эти биты могут принадлежать и другим элементам, что вызвало бы ложноотрицательные результаты
5.Теория графов

Ответ: k = 2

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Рёбра остовного дерева

16 − 1 = 15

Рёбра для удаления

k = 17 − 15 = 2

Ответ

k = 2
6.Теория графов

Ответ: d(F) = 15

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

В каждой строке: зафиксированная вершина, её окончательное расстояние и соседи, у которых расстояние улучшается.

A (0): B: 12, C: 7
C (7): E: 13
B (12): D: 20
E (13): D: 14, F: 15
D (14)
F (15)

Кратчайший путь

A → C → E → F
d(F) = 15

Ответ

d(F) = 15

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms