Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Решением рекуррентного соотношения T(n) = 2T(n/2) + O(n) является:

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n²)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Задача о рюкзаке 0/1, решаемая динамическим программированием, требует O(nW) времени. Почему это называют псевдополиномиальным временем?

  1. AПотому что n всегда мало
  2. BПотому что алгоритм рандомизированный, и время его работы меняется для каждого входа
  3. CW — число, поэтому время экспоненциально относительно количества битов, используемых для записи W
  4. DПотому что он работает только при W = 0
3.Структуры данныхСредняя

Как найти минимальный ключ в двоичном дереве поиска?

  1. AИдти от корня по правым потомкам, пока правого потомка не окажется
  2. BИдти от корня по левым потомкам, пока левого потомка не окажется
  3. CПосмотреть только на корень
  4. DОбойти все листья и сравнить их
4.Структуры данныхСложная

Временная сложность операции decrease-key в двоичной куче (при известной позиции элемента) составляет:

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(1)
5.Теория графовСредняя
ABCDEFЭйлеров циклЭйлеров путь, не циклни то, ни другое

Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Эйлеров цикл
  2. 2Эйлеров путь, не цикл
  3. 3ни то, ни другое
6.Теория графовСложная
8851211322ABCDEF

С помощью алгоритма Дейкстры найдите длину d(D) кратчайшего пути от A до D во взвешенном графе.

начало: Aконец: D
d(D) =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · O(n log n)

Почему это ответ

По основной теореме о рекуррентных соотношениях (master theorem) при a = 2, b = 2, f(n) = n получаем T(n) = Θ(n log n).

Ответ

B · O(n log n)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · W — число, поэтому время экспоненциально относительно количества битов, используемых для записи W

Почему это ответ

Время работы полиномиально относительно значения W, но экспоненциально относительно его длины (log W битов); задача о рюкзаке 0/1 является NP-полной.

Ответ

C · W — число, поэтому время экспоненциально относительно количества битов, используемых для записи W
3.Структуры данных

Ответ: B · Идти от корня по левым потомкам, пока левого потомка не окажется

Почему это ответ

У самого левого узла нет в дереве меньшего ключа, поэтому он минимальный; стоимость пропорциональна высоте.

Ответ

B · Идти от корня по левым потомкам, пока левого потомка не окажется
4.Структуры данных

Ответ: C · O(log n)

Почему это ответ

После уменьшения ключа элемент поднимается не более чем на высоту кучи. Фибоначчиевы кучи достигают амортизированного decrease-key за O(1).

Ответ

C · O(log n)
5.Теория графов

Ответ: ни то, ни другое

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Степени

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 3, deg(F) = 2

Нечётные вершины

B, C, D, E → 4
ни то, ни другое

Ответ

ни то, ни другое
6.Теория графов

Ответ: d(D) = 19

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

В каждой строке: зафиксированная вершина, её окончательное расстояние и соседи, у которых расстояние улучшается.

A (0): C: 8
C (8): B: 16, E: 20
B (16): D: 21, E: 18
E (18): D: 19, F: 20
D (19)
F (20)

Кратчайший путь

A → C → B → E → D
d(D) = 19

Ответ

d(D) = 19

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms