Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Какова временна́я сложность умножения двух матриц n × n стандартным тройным циклом?

  1. AO(n)
  2. BO(n² log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n³)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

В чём разница между неразрешимой и трудноразрешимой задачей?

  1. AУ неразрешимой задачи нет алгоритма для всех входов; у трудноразрешимой он есть, но слишком медленный
  2. BОба термина означают, что у задачи вообще нет алгоритма
  3. CНеразрешимые задачи лежат в NP, а трудноразрешимые — в P
  4. DТрудноразрешимые задачи нельзя решить никаким алгоритмом, а неразрешимым нужно лишь экспоненциальное время
3.Структуры данныхСредняя

В двоичной min-куче, хранящейся в массиве (индексация с 0), потомки узла с индексом i находятся на позициях:

  1. Ai/2 и i/2 + 1
  2. B2i и 2i + 1
  3. C2i + 1 и 2i + 2
  4. Di + 1 и i + 2
4.Структуры данныхСложная

Сколько времени занимает поиск произвольного ключа в двоичной min-куче из n элементов?

  1. AO(log n)
  2. BO(1)
  3. CO(log log n)
  4. DO(n)
5.Теория графовСредняя
ABCDEFGЭйлеров циклЭйлеров путь, не циклни то, ни другое

Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.

|V| = 7|E| = 9
  1. 1Эйлеров цикл
  2. 2Эйлеров путь, не цикл
  3. 3ни то, ни другое
6.Теория графовСложная
15171324796ABCDEF

Найдите суммарный вес W минимального остовного дерева взвешенного графа.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · O(n³)

Почему это ответ

Элементов n², и каждому нужно n умножений, что даёт n³ операций.

Ответ

D · O(n³)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · У неразрешимой задачи нет алгоритма для всех входов; у трудноразрешимой он есть, но слишком медленный

Почему это ответ

У проблемы остановки вообще нет алгоритма; NP-трудную задачу, например TSP, можно решить перебором, только не за известное полиномиальное время.

Ответ

A · У неразрешимой задачи нет алгоритма для всех входов; у трудноразрешимой он есть, но слишком медленный
3.Структуры данных

Ответ: C · 2i + 1 и 2i + 2

Почему это ответ

В массивах с индексацией от 0 левый потомок находится в 2i + 1, правый — в 2i + 2, а родитель — в ⌊(i − 1)/2⌋.

Ответ

C · 2i + 1 и 2i + 2
4.Структуры данных

Ответ: D · O(n)

Почему это ответ

Куча не даёт правила, в каком поддереве находится ключ, поэтому в худшем случае нужно проверить все узлы; быстро находится только минимум.

Ответ

D · O(n)
5.Теория графов

Ответ: ни то, ни другое

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Степени

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 1, deg(D) = 4, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 4

Нечётные вершины

A, B, C, E → 4
ни то, ни другое

Ответ

ни то, ни другое
6.Теория графов

Ответ: W = 34

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Краскала

BD (2): берём
CE (4): берём
EF (6): берём
DE (7): берём
DF (9): пропускаем, замыкает цикл
BC (13): пропускаем, замыкает цикл
AB (15): берём

Суммарный вес

W = 2 + 4 + 6 + 7 + 15 = 34

Ответ

W = 34

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms