Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях: Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Регулярный граф: |E| = n·k/2
Дерево и лес: |E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер: цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в K_n: (n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L: (Mᴸ)_ij

Метод

Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Динамическое программирование полезно, когда у задачи есть:

AОдин цикл
BВообще никаких подзадач, поэтому её можно решить за один шаг
CПерекрывающиеся подзадачи и оптимальная подструктура
DТолько случайные входные данные

2.Алгоритмы и сложностьСложная

Принадлежит ли 2²ⁿ классу O(2ⁿ)?

AДа, потому что обе функции экспоненциальны
BНет, потому что 2²ⁿ = 4ⁿ, а 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ растёт неограниченно
CДа, потому что постоянные множители в показателе в O большом всегда игнорируются
DНет, потому что 2²ⁿ растёт медленнее 2ⁿ

3.Структуры данныхСредняя

Почему обход массива на практике часто гораздо быстрее обхода связного списка той же длины?

AМассивы требуют меньше инструкций для сравнения значений
BЭлементы массива расположены непрерывно, поэтому хорошо используют кэш процессора
CОбход массива занимает в сумме O(1), а связного списка — O(n)
DСвязные списки всегда хранят элементы на диске

4.Структуры данныхСложная

Для каждого элемента массива нужно найти следующий больший элемент справа за общее время O(n). Какая структура поможет?

AДвоичное дерево поиска, перестраиваемое для каждого элемента
BСтек, хранящий элементы, ожидающие своего ответа
CОчередь, хранящая каждую пару элементов
DХеш-таблица всех элементов

5.Теория графовСредняя

Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.

|V| = 6|E| = 6

1Эйлеров цикл
2Эйлеров путь, не цикл
3ни то, ни другое

6.Теория графовСложная

С помощью алгоритма Дейкстры найдите длину d(F) кратчайшего пути от A до F во взвешенном графе.

начало: Aконец: F

d(F) =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · Перекрывающиеся подзадачи и оптимальная подструктура

Почему это ответ

Сохранение результатов перекрывающихся подзадач (мемоизация или табуляция) позволяет избежать повторной работы и превращает экспоненциальные алгоритмы в полиномиальные.

Ответ

C · Перекрывающиеся подзадачи и оптимальная подструктура

2.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · Нет, потому что 2²ⁿ = 4ⁿ, а 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ растёт неограниченно

Почему это ответ

Константа, прибавленная к показателю, даёт постоянный множитель, а константа, умножающая показатель, меняет основание и скорость роста.

Ответ

B · Нет, потому что 2²ⁿ = 4ⁿ, а 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ растёт неограниченно

3.Структуры данных

Ответ: B · Элементы массива расположены непрерывно, поэтому хорошо используют кэш процессора

Почему это ответ

Непрерывная память обеспечивает хорошую локальность обращений, а связанные узлы могут быть разбросаны и вызывать много промахов кэша.

Ответ

B · Элементы массива расположены непрерывно, поэтому хорошо используют кэш процессора

4.Структуры данных

Ответ: B · Стек, хранящий элементы, ожидающие своего ответа

Почему это ответ

При проходе слева направо извлекают все элементы стека, меньшие текущего (текущий элемент — их ответ), затем помещают текущий; каждый элемент перемещается не более двух раз.

Ответ

B · Стек, хранящий элементы, ожидающие своего ответа

5.Теория графов

Ответ: ни то, ни другое

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в K_n их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Степени

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 1, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 2

Нечётные вершины

A, B, C, E → 4

ни то, ни другое

Ответ

ни то, ни другое

6.Теория графов

Ответ: d(F) = 22

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

В каждой строке: зафиксированная вершина, её окончательное расстояние и соседи, у которых расстояние улучшается.

A (0): B: 8, C: 11

B (8): D: 14, G: 20

C (11): E: 24, G: 19

D (14): F: 22

G (19): E: 22

E (22)

F (22)

Кратчайший путь

A → B → D → F

d(F) = 22

Ответ

d(F) = 22

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms