Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Каково решение рекуррентного соотношения T(n) = T(n − 1) + O(n)?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(2ⁿ)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Почему бинарный поиск не даёт времени O(log n) на односвязном списке?

  1. AЧтобы добраться до среднего элемента, нужно O(n) шагов, поскольку нет прямого доступа по индексу
  2. BСравнения узлов связного списка медленнее
  3. CБинарному поиску нужно как минимум вдвое больше памяти
  4. DСвязные списки нельзя сортировать
3.Структуры данныхСредняя

Чему равно значение постфиксного выражения 3 4 + 2 * ?

  1. A14
  2. B11
  3. C24
  4. D10
4.Структуры данныхСложная

Фильтр Блума может ответить на вопрос «принадлежит ли этот элемент множеству?»:

  1. AВсегда точно
  2. BС возможными ложноположительными, но без ложноотрицательных результатов
  3. CТолько для чисел
  4. DС возможными ложноотрицательными, но без ложноположительных результатов
5.Теория графовСредняя

Сколько различных гамильтоновых циклов, H, в полном графе K6? Циклы, отличающиеся только начальной вершиной или направлением, считаются одним и тем же.

K6
H =
6.Теория графовСложная
2058971712ABCDE

Алгоритм Прима строит минимальное остовное дерево, начиная с вершины E. Нажмите на ребро, которое он добавляет под номером 3.

начало: Ek = 3
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро AC
  3. 3ребро BC
  4. 4ребро BD
  5. 5ребро CE
  6. 6ребро DE
  7. 7ребро BE

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · O(n²)

Почему это ответ

Работа в сумме составляет около n² / 2; это рекуррентное соотношение сортировки выбором или быстрой сортировки с худшим опорным элементом.

Ответ

C · O(n²)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · Чтобы добраться до среднего элемента, нужно O(n) шагов, поскольку нет прямого доступа по индексу

Почему это ответ

Бинарному поиску нужен доступ к середине за O(1); в связном списке путь туда стоит линейного времени, поэтому итог O(n).

Ответ

A · Чтобы добраться до среднего элемента, нужно O(n) шагов, поскольку нет прямого доступа по индексу
3.Структуры данных

Ответ: A · 14

Почему это ответ

Помещаем 3 и 4, + даёт 7; помещаем 2, * даёт 7 × 2 = 14.

Ответ

A · 14
4.Структуры данных

Ответ: B · С возможными ложноположительными, но без ложноотрицательных результатов

Почему это ответ

Если любой бит для элемента равен 0, элемента точно нет; если все равны 1, он, вероятно, есть. Фильтры Блума жертвуют точностью ради очень малого объёма памяти.

Ответ

B · С возможными ложноположительными, но без ложноотрицательных результатов
5.Теория графов

Ответ: H = 60

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Посчитайте

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Ответ

H = 60
6.Теория графов

Ответ: ребро BC

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Прима

1. CE (7)
2. AC (5)
3. BC (8)
4. BD (9)

номер ребра 3

BC

Ответ

ребро BC

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms