Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Жадный алгоритм:

  1. AИспользует только рекурсию
  2. BВсегда даёт оптимальное решение
  3. CПеребирает все возможные решения
  4. DНа каждом шаге делает локально наилучший выбор
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Каково время работы алгоритма Дейкстры с двоичной кучей на графе с V вершинами и E рёбрами?

  1. AO(V³)
  2. BO(V + E)
  3. CO((V + E) log V)
  4. DO(V × E)
3.Структуры данныхСредняя

Где в двоичной куче, хранящейся в массиве с индексацией от 0, находится родитель узла с индексом i?

  1. AВ индексе ⌊(i − 1) / 2⌋
  2. BВ индексе ⌊i / 2⌋ + 1
  3. CВ индексе 2i + 1
  4. DВ индексе i − 1
4.Структуры данныхСложная

Какие операции поддерживает за O(log n) дерево Фенвика (binary indexed tree) над массивом из n чисел?

  1. AЗапросы префиксных сумм и обновления отдельного элемента
  2. BВставку элементов в любую позицию
  3. CСортировку массива и двоичный поиск
  4. DПоиск медианы за O(1)
5.Теория графовСредняя

Сколько различных гамильтоновых циклов, H, в полном графе K8? Циклы, отличающиеся только начальной вершиной или направлением, считаются одним и тем же.

K8
H =
6.Теория графовСложная
4314611184ABCDEF

Алгоритм Дейкстры запускается из A. Нажмите на вершину, которая фиксируется (становится постоянной) на шаге 4; сама A фиксируется на шаге 1.

начало: Aшаг 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · На каждом шаге делает локально наилучший выбор

Почему это ответ

Жадные алгоритмы быстры и для некоторых задач оптимальны (например, алгоритм Дейкстры, кодирование Хаффмана), но не в общем случае (например, задача о размене монет для некоторых систем монет).

Ответ

D · На каждом шаге делает локально наилучший выбор
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · O((V + E) log V)

Почему это ответ

Выполняется V операций извлечения минимума и до E операций уменьшения ключа, каждая за O(log V); фибоначчиева куча улучшает это до O(E + V log V).

Ответ

C · O((V + E) log V)
3.Структуры данных

Ответ: A · В индексе ⌊(i − 1) / 2⌋

Почему это ответ

Потомки i находятся в 2i + 1 и 2i + 2, поэтому родитель i — в ⌊(i − 1) / 2⌋; при индексации с 1 это ⌊i / 2⌋.

Ответ

A · В индексе ⌊(i − 1) / 2⌋
4.Структуры данных

Ответ: A · Запросы префиксных сумм и обновления отдельного элемента

Почему это ответ

Дерево Фенвика хранит частичные суммы по диапазонам, определяемым младшими битами каждого индекса, поэтому и префиксные суммы, и точечные обновления занимают O(log n).

Ответ

A · Запросы префиксных сумм и обновления отдельного элемента
5.Теория графов

Ответ: H = 2520

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Посчитайте

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Ответ

H = 2520
6.Теория графов

Ответ: E

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

1. A (0): B: 4, C: 3
2. C (3): E: 9
3. B (4): D: 18, E: 8
4. E (8): F: 16
5. F (16): D: 17
6. D (17)

шаг 4

E

Ответ

E

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms