Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Каково решение рекуррентного соотношения T(n) = T(n − 1) + O(1)?

  1. AO(n²)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(2ⁿ)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Для какого варианта задачи о рюкзаке жадное правило «брать предметы в порядке ценности на единицу веса» всегда даёт оптимальный ответ?

  1. AДля непрерывного (дробного) рюкзака, где предметы можно делить
  2. BДля обоих вариантов
  3. CДля рюкзака 0/1, где предметы всегда нужно брать целиком
  4. DНи для одного варианта
3.Структуры данныхСредняя

В двоичной min-куче, хранящейся в массиве (индексация с 0), потомки узла с индексом i находятся на позициях:

  1. Ai + 1 и i + 2
  2. Bi/2 и i/2 + 1
  3. C2i и 2i + 1
  4. D2i + 1 и 2i + 2
4.Структуры данныхСложная

Как определить, есть ли цикл в односвязном списке, используя O(1) дополнительной памяти?

  1. AОтсортировать список и искать повторы
  2. BХранить каждый посещённый узел в хеш-множестве
  3. CСчитать узлы, пока счёт не превысит поле длины списка
  4. DДвигать один указатель на один шаг, а другой на два и проверять, встретятся ли они
5.Теория графовСредняя
ABCDEЭйлеров циклЭйлеров путь, не циклни то, ни другое

Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Эйлеров цикл
  2. 2Эйлеров путь, не цикл
  3. 3ни то, ни другое
6.Теория графовСложная
201861517741113ABCDEF

Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево. Нажмите на ребро, которое он добавляет под номером 2; пропущенные рёбра не считаются.

k = 2
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро AC
  3. 3ребро BC
  4. 4ребро BD
  5. 5ребро CE
  6. 6ребро DE
  7. 7ребро DF
  8. 8ребро EF
  9. 9ребро BE

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · O(n)

Почему это ответ

Есть n уровней с постоянной работой на каждом, как при рекурсивном суммировании массива.

Ответ

C · O(n)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · Для непрерывного (дробного) рюкзака, где предметы можно делить

Почему это ответ

Когда предметы можно делить, выбор по лучшему отношению оптимален; в рюкзаке 0/1 предмет с высоким отношением может помешать лучшей комбинации, поэтому нужно динамическое программирование.

Ответ

A · Для непрерывного (дробного) рюкзака, где предметы можно делить
3.Структуры данных

Ответ: D · 2i + 1 и 2i + 2

Почему это ответ

В массивах с индексацией от 0 левый потомок находится в 2i + 1, правый — в 2i + 2, а родитель — в ⌊(i − 1)/2⌋.

Ответ

D · 2i + 1 и 2i + 2
4.Структуры данных

Ответ: D · Двигать один указатель на один шаг, а другой на два и проверять, встретятся ли они

Почему это ответ

В алгоритме Флойда при наличии цикла быстрый указатель в итоге догоняет медленный; иначе быстрый указатель доходит до null.

Ответ

D · Двигать один указатель на один шаг, а другой на два и проверять, встретятся ли они
5.Теория графов

Ответ: Эйлеров цикл

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Степени

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Нечётные вершины

0
Эйлеров цикл

Ответ

Эйлеров цикл
6.Теория графов

Ответ: ребро BC

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Краскала

1. DF (4)
2. BC (6)
3. DE (7)
4. BE (13)
5. AC (18)

номер ребра 2

BC

Ответ

ребро BC

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms