Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Быстрая сортировка всегда берёт в качестве опорного первый элемент. На каком входе проявляется её поведение в худшем случае?

  1. AНа массиве длины 2
  2. BНа уже отсортированном массиве
  3. CНа массиве в случайном порядке
  4. DНа массиве, все элементы которого различны
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Какая оценка для log(n!) верна?

  1. AΘ(n)
  2. BΘ(log n)
  3. CΘ(n²)
  4. DΘ(n log n)
3.Структуры данныхСредняя

Какова временная сложность поиска ключа в сбалансированном двоичном дереве поиска?

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(log n)
  4. DO(1)
4.Структуры данныхСложная

Для каждого элемента массива нужно найти следующий больший элемент справа за общее время O(n). Какая структура поможет?

  1. AОчередь, хранящая каждую пару элементов
  2. BДвоичное дерево поиска, перестраиваемое для каждого элемента
  3. CХеш-таблица всех элементов
  4. DСтек, хранящий элементы, ожидающие своего ответа
5.Теория графовСредняя

У дерева 3 вершин степени 5, 2 вершин степени 2, а все остальные его вершины — листья (степень 1). Сколько у него листьев, L?

3 × deg 52 × deg 2
L =
6.Теория графовСложная
ABCDE

Сколько существует маршрутов длины 2 из B в C? Маршрут может повторять вершины и рёбра. Обозначим это число N.

M = матрица смежностиL = 2
N =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · На уже отсортированном массиве

Почему это ответ

На отсортированном входе опорный элемент всегда минимален, поэтому одна часть пуста, а в другой n − 1 элемент, что даёт O(n²).

Ответ

B · На уже отсортированном массиве
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · Θ(n log n)

Почему это ответ

log(n!) ≤ n log n, а наибольшие n / 2 множителей дают log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2); поэтому сортировке сравнениями нужно Ω(n log n).

Ответ

D · Θ(n log n)
3.Структуры данных

Ответ: C · O(log n)

Почему это ответ

Сбалансированное дерево имеет высоту около log₂ n, поэтому поиск проходит по одному пути от корня до листа.

Ответ

C · O(log n)
4.Структуры данных

Ответ: D · Стек, хранящий элементы, ожидающие своего ответа

Почему это ответ

При проходе слева направо извлекают все элементы стека, меньшие текущего (текущий элемент — их ответ), затем помещают текущий; каждый элемент перемещается не более двух раз.

Ответ

D · Стек, хранящий элементы, ожидающие своего ответа
5.Теория графов

Ответ: L = 11

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Лемма о рукопожатиях для дерева

L + 19 = 2(L + 5) − 2
L = 11

Ответ

L = 11

Короткий путь: L = 2 + Σ (d − 2) по вершинам степени d ≥ 3.

6.Теория графов

Ответ: N = 1

Степени: степень вершины — это число рёбер, которые в ней сходятся. У каждого ребра два конца, поэтому степени в сумме дают удвоенное число рёбер: Σ deg(v) = 2|E| (лемма о рукопожатиях). Следовательно, число вершин нечётной степени чётно. У Kn имеется n(n − 1)/2 рёбер, у k-регулярного графа на n вершинах nk/2, а у дерева на n вершинах n − 1 ребро.

Матрица смежности

A: 0 0 1 0 0
B: 0 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Общие соседи

(M²)BC = 0·1 + 0·1 + 1·0 + 1·0 + 1·1 = 1

Ответ

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms