Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Что означает, что задача обладает оптимальной подструктурой?

  1. AВсе подзадачи одного размера
  2. BУ задачи ровно одно оптимальное решение, общее для всех подзадач
  3. CОптимальное решение можно построить из оптимальных решений её подзадач
  4. DЗадачу можно решить за постоянное время
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Умножение Карацубы удовлетворяет T(n) = 3T(n/2) + O(n). Каково решение?

  1. AΘ(nlog₂ 3), примерно n1,585
  2. BΘ(n log n)
  3. CΘ(n²)
  4. DΘ(n3)
3.Структуры данныхСредняя

Какая структура данных используется, чтобы проверить, сбалансированы ли скобки в «{[()]}»?

  1. AХеш-таблица
  2. BДвоичное дерево поиска
  3. CСтек
  4. DОчередь
4.Структуры данныхСложная

Вставка ключа в АВЛ-дерево делает левое поддерево узла слишком высоким, причём новый ключ попал в левое поддерево его левого потомка (случай левый–левый). Какое исправление применяется?

  1. AЛевый поворот в потомке, затем правый поворот в узле
  2. BОдиночный правый поворот в несбалансированном узле
  3. CОдиночный левый поворот в несбалансированном узле
  4. DПерекрашивание узла и его потомка
5.Теория графовСредняя
ABCDEFGЭйлеров циклЭйлеров путь, не циклни то, ни другое

Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.

|V| = 7|E| = 12
  1. 1Эйлеров цикл
  2. 2Эйлеров путь, не цикл
  3. 3ни то, ни другое
6.Теория графовСложная
ABCDEF

Сколько существует маршрутов длины 2 из B в C? Маршрут может повторять вершины и рёбра. Обозначим это число N.

M = матрица смежностиL = 2
N =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · Оптимальное решение можно построить из оптимальных решений её подзадач

Почему это ответ

Оптимальная подструктура необходима, чтобы и жадные алгоритмы, и динамическое программирование давали правильные ответы.

Ответ

C · Оптимальное решение можно построить из оптимальных решений её подзадач
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · Θ(nlog₂ 3), примерно n1,585

Почему это ответ

Поскольку log₂ 3 ≈ 1,585 > 1, по основной теореме доминируют листья, и это лучше школьного метода O(n²).

Ответ

A · Θ(nlog₂ 3), примерно n1,585
3.Структуры данных

Ответ: C · Стек

Почему это ответ

Каждую открывающую скобку помещают в стек (push), а при появлении закрывающей извлекают (pop); она должна соответствовать извлечённой, а в конце стек должен быть пуст.

Ответ

C · Стек
4.Структуры данных

Ответ: B · Одиночный правый поворот в несбалансированном узле

Почему это ответ

В случае левый–левый один правый поворот поднимает левого потомка вверх и восстанавливает баланс; случаи зигзага требуют двойного поворота.

Ответ

B · Одиночный правый поворот в несбалансированном узле
5.Теория графов

Ответ: Эйлеров цикл

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Степени

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 4

Нечётные вершины

0
Эйлеров цикл

Ответ

Эйлеров цикл
6.Теория графов

Ответ: N = 2

Степени: степень вершины — это число рёбер, которые в ней сходятся. У каждого ребра два конца, поэтому степени в сумме дают удвоенное число рёбер: Σ deg(v) = 2|E| (лемма о рукопожатиях). Следовательно, число вершин нечётной степени чётно. У Kn имеется n(n − 1)/2 рёбер, у k-регулярного графа на n вершинах nk/2, а у дерева на n вершинах n − 1 ребро.

Матрица смежности

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 0 1
E: 0 1 1 0 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Общие соседи

(M²)BC = 1·1 + 0·1 + 1·0 + 1·0 + 1·1 + 0·0 = 2

Ответ

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms