Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

В отсортированном массиве вы ищете два элемента с заданной суммой, двигая по одному указателю с каждого конца внутрь. Какова временна́я сложность?

  1. AO(log n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Принадлежит ли 22n классу O(2ⁿ)?

  1. AНет, потому что 22n растёт медленнее 2ⁿ
  2. BДа, потому что обе функции экспоненциальны
  3. CДа, потому что постоянные множители в показателе в O большом всегда игнорируются
  4. DНет, потому что 22n = 4ⁿ, а 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ растёт неограниченно
3.Структуры данныхСредняя

Очередь реализована двумя стеками: push в стек «in», pop из стека «out», который при опустошении заполняется из «in». Какова амортизированная стоимость одной операции?

  1. AO(1)
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
4.Структуры данныхСложная

Какому свойству должно удовлетворять красно-чёрное дерево?

  1. AКаждый узел должен быть красным
  2. BКорень должен быть красным
  3. CУ каждого красного узла должны быть красные потомки, поэтому красные узлы всегда образуют непрерывные цепочки до листьев
  4. DКаждый путь от узла до его листьев-потомков содержит одинаковое число чёрных узлов
5.Теория графовСредняя

У дерева 2 вершин степени 3, 3 вершин степени 4, 2 вершин степени 5, 4 вершин степени 2, а все остальные его вершины — листья (степень 1). Сколько у него листьев, L?

2 × deg 33 × deg 42 × deg 54 × deg 2
L =
6.Теория графовСложная
191811420151437ABCDEFG

Найдите суммарный вес W минимального остовного дерева взвешенного графа.

|V| = 7|E| = 9
W =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · O(n)

Почему это ответ

Если сумма слишком мала, левый указатель сдвигается вправо, если слишком велика — правый влево, поэтому шагов не больше n.

Ответ

D · O(n)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · Нет, потому что 22n = 4ⁿ, а 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ растёт неограниченно

Почему это ответ

Константа, прибавленная к показателю, даёт постоянный множитель, а константа, умножающая показатель, меняет основание и скорость роста.

Ответ

D · Нет, потому что 22n = 4ⁿ, а 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ растёт неограниченно
3.Структуры данных

Ответ: A · O(1)

Почему это ответ

Каждый элемент помещается и извлекается в сумме не более двух раз, поэтому, хотя одно перезаполнение может занять O(n), в среднем по последовательности операций выходит O(1).

Ответ

A · O(1)
4.Структуры данных

Ответ: D · Каждый путь от узла до его листьев-потомков содержит одинаковое число чёрных узлов

Почему это ответ

Правила красно-чёрного дерева: узлы красные или чёрные, корень чёрный, потомки красных узлов чёрные, а все пути имеют одинаковую чёрную высоту, что удерживает высоту ≤ 2 log₂(n + 1).

Ответ

D · Каждый путь от узла до его листьев-потомков содержит одинаковое число чёрных узлов
5.Теория графов

Ответ: L = 16

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Лемма о рукопожатиях для дерева

L + 36 = 2(L + 11) − 2
L = 16

Ответ

L = 16

Короткий путь: L = 2 + Σ (d − 2) по вершинам степени d ≥ 3.

6.Теория графов

Ответ: W = 66

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Краскала

GD (3): берём
DE (4): берём
GE (7): пропускаем, замыкает цикл
BD (11): берём
GC (14): берём
EF (15): берём
BC (18): пропускаем, замыкает цикл
AC (19): берём

Суммарный вес

W = 3 + 4 + 11 + 14 + 15 + 19 = 66

Ответ

W = 66

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms