Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Почему динамическое программирование не даёт реального ускорения для сортировки слиянием?

  1. AЕё подзадачи не перекрываются, поэтому нечего использовать повторно
  2. BСортировка слиянием уже работает за O(n)
  3. CУ сортировки слиянием нет рекурсивной структуры
  4. DДинамическое программирование работает только на задачах о графах, но не на массивах
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Задача о рюкзаке 0/1, решаемая динамическим программированием, требует O(nW) времени. Почему это называют псевдополиномиальным временем?

  1. AПотому что n всегда мало
  2. BW — число, поэтому время экспоненциально относительно количества битов, используемых для записи W
  3. CПотому что он работает только при W = 0
  4. DПотому что алгоритм рандомизированный, и время его работы меняется для каждого входа
3.Структуры данныхСредняя

Где в двоичной куче, хранящейся в массиве с индексацией от 0, находится родитель узла с индексом i?

  1. AВ индексе ⌊i / 2⌋ + 1
  2. BВ индексе i − 1
  3. CВ индексе 2i + 1
  4. DВ индексе ⌊(i − 1) / 2⌋
4.Структуры данныхСложная

Какую гарантию дают правила красно-чёрного дерева относительно высоты дерева с n ключами?

  1. AВысота не превышает n / 2
  2. BВысота не превышает log2 n + 1
  3. CВысота не превышает 2 log2(n + 1)
  4. DВысота равна ровно log2 n
5.Теория графовСредняя

У дерева 4 вершин степени 4, 2 вершин степени 5, 4 вершин степени 2, а все остальные его вершины — листья (степень 1). Сколько у него листьев, L?

4 × deg 42 × deg 54 × deg 2
L =
6.Теория графовСложная
17731581429ABCDEF

Найдите суммарный вес W минимального остовного дерева взвешенного графа.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · Её подзадачи не перекрываются, поэтому нечего использовать повторно

Почему это ответ

Половины в сортировке слиянием не пересекаются, и каждая решается один раз; ДП помогает только при повторяющихся подзадачах, как в числах Фибоначчи.

Ответ

A · Её подзадачи не перекрываются, поэтому нечего использовать повторно
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · W — число, поэтому время экспоненциально относительно количества битов, используемых для записи W

Почему это ответ

Время работы полиномиально относительно значения W, но экспоненциально относительно его длины (log W битов); задача о рюкзаке 0/1 является NP-полной.

Ответ

B · W — число, поэтому время экспоненциально относительно количества битов, используемых для записи W
3.Структуры данных

Ответ: D · В индексе ⌊(i − 1) / 2⌋

Почему это ответ

Потомки i находятся в 2i + 1 и 2i + 2, поэтому родитель i — в ⌊(i − 1) / 2⌋; при индексации с 1 это ⌊i / 2⌋.

Ответ

D · В индексе ⌊(i − 1) / 2⌋
4.Структуры данных

Ответ: C · Высота не превышает 2 log2(n + 1)

Почему это ответ

На каждом пути одинаковое число чёрных узлов, а красные узлы не могут быть соседними, поэтому самый длинный путь не более чем вдвое длиннее самого короткого, что даёт высоту O(log n).

Ответ

C · Высота не превышает 2 log2(n + 1)
5.Теория графов

Ответ: L = 16

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Лемма о рукопожатиях для дерева

L + 34 = 2(L + 10) − 2
L = 16

Ответ

L = 16

Короткий путь: L = 2 + Σ (d − 2) по вершинам степени d ≥ 3.

6.Теория графов

Ответ: W = 34

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Краскала

EF (2): берём
BC (3): берём
AC (7): берём
CE (8): берём
BE (9): пропускаем, замыкает цикл
DF (14): берём

Суммарный вес

W = 2 + 3 + 7 + 8 + 14 = 34

Ответ

W = 34

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms