Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Какой алгоритм находит кратчайшие пути из одного источника в графе с неотрицательными весами рёбер?

  1. AВо всех случаях требуется алгоритм Беллмана–Форда
  2. BПоиск в глубину (DFS)
  3. CАлгоритм Дейкстры
  4. DАлгоритм Краскала
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Алгоритм динамического программирования Хелда–Карпа точно решает задачу коммивояжёра. Каково время его работы для n городов?

  1. AO(n² 2ⁿ)
  2. BO(2n²)
  3. CO(n³)
  4. DO(n!)
3.Структуры данныхСредняя

Какова стоимость вставки элемента в середину массива из n элементов?

  1. AO(n²), потому что каждый элемент сдвигается n раз
  2. BO(n), потому что последующие элементы нужно сдвинуть
  3. CO(1), потому что индекс известен
  4. DO(log n) из-за двоичного поиска
4.Структуры данныхСложная

Почему базы данных часто используют для индексов B+ деревья, а не обычные B-деревья?

  1. AB+ деревья не нужно балансировать
  2. BB+ деревья хранят данные только в корне
  3. CВсе записи находятся в связанных листьях, что делает сканирование диапазонов эффективным
  4. DB+ деревья используют двоичные внутренние узлы, что сокращает число чтений с диска
5.Теория графовСредняя

У дерева 3 вершин степени 3, 3 вершин степени 4, 4 вершин степени 5, а все остальные его вершины — листья (степень 1). Сколько у него листьев, L?

3 × deg 33 × deg 44 × deg 5
L =
6.Теория графовСложная
1410755114612146ABCDEFG

С помощью алгоритма Дейкстры найдите длину d(F) кратчайшего пути от A до F во взвешенном графе.

начало: Aконец: F
d(F) =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · Алгоритм Дейкстры

Почему это ответ

Алгоритм Дейкстры работает с неотрицательными весами; алгоритм Беллмана–Форда допускает отрицательные веса; алгоритм Краскала строит минимальные остовные деревья.

Ответ

C · Алгоритм Дейкстры
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · O(n² 2ⁿ)

Почему это ответ

Состояний около n 2ⁿ, и каждое вычисляется за O(n); это экспоненциально, но намного быстрее перебора всех (n − 1)! обходов.

Ответ

A · O(n² 2ⁿ)
3.Структуры данных

Ответ: B · O(n), потому что последующие элементы нужно сдвинуть

Почему это ответ

Все элементы после места вставки сдвигаются на одну позицию вправо, что занимает время, пропорциональное n.

Ответ

B · O(n), потому что последующие элементы нужно сдвинуть
4.Структуры данных

Ответ: C · Все записи находятся в связанных листьях, что делает сканирование диапазонов эффективным

Почему это ответ

В B+ дереве внутренние узлы только направляют поиск, а листья связаны в порядке ключей, поэтому запрос по диапазону находит первый ключ и затем идёт по листьям.

Ответ

C · Все записи находятся в связанных листьях, что делает сканирование диапазонов эффективным
5.Теория графов

Ответ: L = 23

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Лемма о рукопожатиях для дерева

L + 41 = 2(L + 10) − 2
L = 23

Ответ

L = 23

Короткий путь: L = 2 + Σ (d − 2) по вершинам степени d ≥ 3.

6.Теория графов

Ответ: d(F) = 30

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

В каждой строке: зафиксированная вершина, её окончательное расстояние и соседи, у которых расстояние улучшается.

A (0): B: 14, C: 10
C (10): E: 15, G: 22
B (14): D: 19, G: 20
E (15): D: 16
D (16): F: 30
G (20)
F (30)

Кратчайший путь

A → C → E → D → F
d(F) = 30

Ответ

d(F) = 30

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms