Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Что означает, что задача обладает оптимальной подструктурой?

  1. AВсе подзадачи одного размера
  2. BУ задачи ровно одно оптимальное решение, общее для всех подзадач
  3. CОптимальное решение можно построить из оптимальных решений её подзадач
  4. DЗадачу можно решить за постоянное время
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Почему бинарный поиск не даёт времени O(log n) на односвязном списке?

  1. AСравнения узлов связного списка медленнее
  2. BСвязные списки нельзя сортировать
  3. CБинарному поиску нужно как минимум вдвое больше памяти
  4. DЧтобы добраться до среднего элемента, нужно O(n) шагов, поскольку нет прямого доступа по индексу
3.Структуры данныхСредняя

Как работает extract-min в двоичной min-куче?

  1. AУдаляют корень и сдвигают все элементы на одну позицию влево
  2. BИщут новый минимум среди всех листьев
  3. CПоследний элемент перемещают в корень и опускают вниз (sift down)
  4. DУдаляют последний элемент массива
4.Структуры данныхСложная

Какое утверждение о пирамидальной сортировке (heapsort) верно?

  1. AОна работает за O(n) на любых входных данных
  2. BОна устойчива и требует O(n) дополнительной памяти
  3. CОна сортирует на месте за O(n log n) в худшем случае, но не является устойчивой
  4. DЕй нужно двоичное дерево поиска как дополнительное хранилище, поэтому она использует O(n) дополнительной памяти
5.Теория графовСредняя
ABCDEFЭйлеров циклЭйлеров путь, не циклни то, ни другое

Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1Эйлеров цикл
  2. 2Эйлеров путь, не цикл
  3. 3ни то, ни другое
6.Теория графовСложная
ABCDE

Сколько существует замкнутых маршрутов длины 2, начинающихся и заканчивающихся в D? Маршрут может повторять вершины и рёбра. Обозначим это число N.

M = матрица смежностиL = 2
N =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · Оптимальное решение можно построить из оптимальных решений её подзадач

Почему это ответ

Оптимальная подструктура необходима, чтобы и жадные алгоритмы, и динамическое программирование давали правильные ответы.

Ответ

C · Оптимальное решение можно построить из оптимальных решений её подзадач
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · Чтобы добраться до среднего элемента, нужно O(n) шагов, поскольку нет прямого доступа по индексу

Почему это ответ

Бинарному поиску нужен доступ к середине за O(1); в связном списке путь туда стоит линейного времени, поэтому итог O(n).

Ответ

D · Чтобы добраться до среднего элемента, нужно O(n) шагов, поскольку нет прямого доступа по индексу
3.Структуры данных

Ответ: C · Последний элемент перемещают в корень и опускают вниз (sift down)

Почему это ответ

Последний элемент заполняет «дыру» в корне и меняется местами с меньшим потомком, пока не выполнится свойство кучи; это занимает O(log n).

Ответ

C · Последний элемент перемещают в корень и опускают вниз (sift down)
4.Структуры данных

Ответ: C · Она сортирует на месте за O(n log n) в худшем случае, но не является устойчивой

Почему это ответ

Heapsort строит max-кучу и n раз извлекает максимум в том же массиве; обмены на большие расстояния могут менять порядок равных ключей.

Ответ

C · Она сортирует на месте за O(n log n) в худшем случае, но не является устойчивой
5.Теория графов

Ответ: ни то, ни другое

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Степени

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 1, deg(E) = 3, deg(F) = 1

Нечётные вершины

B, D, E, F → 4
ни то, ни другое

Ответ

ни то, ни другое
6.Теория графов

Ответ: N = 2

Степени: степень вершины — это число рёбер, которые в ней сходятся. У каждого ребра два конца, поэтому степени в сумме дают удвоенное число рёбер: Σ deg(v) = 2|E| (лемма о рукопожатиях). Следовательно, число вершин нечётной степени чётно. У Kn имеется n(n − 1)/2 рёбер, у k-регулярного графа на n вершинах nk/2, а у дерева на n вершинах n − 1 ребро.

Матрица смежности

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 0
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 0 1 1 0

Общие соседи

(M²)DD = 0·0 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 = 2

Ответ

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms