Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Сколько памяти стека использует простая рекурсивная функция факториала fact(n) = n × fact(n − 1)?

  1. AO(1)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Как алгоритм Беллмана–Форда обнаруживает цикл отрицательного веса, достижимый из источника?

  1. AПосле V − 1 раундов он проверяет, можно ли ещё релаксировать какое-либо ребро
  2. BОн дважды запускает алгоритм Дейкстры и сравнивает два полученных результата расстояний
  3. CОн подсчитывает циклы поиском в глубину
  4. DОн проверяет, есть ли ребро с отрицательным весом
3.Структуры данныхСредняя

Почему двоичную кучу можно хранить в массиве без каких-либо указателей?

  1. AВ кучах никогда не бывает больше 100 элементов
  2. BЭто полное двоичное дерево, поэтому позиции подчиняются простым формулам индексов
  3. CВсе ключи в куче равны
  4. DМассивы автоматически хранят ключи в отсортированном порядке, поэтому указатели не нужны
4.Структуры данныхСложная

Сколько времени занимает поиск произвольного ключа в двоичной min-куче из n элементов?

  1. AO(1)
  2. BO(log log n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
5.Теория графовСредняя

Сколько различных гамильтоновых циклов, H, в полном графе K4? Циклы, отличающиеся только начальной вершиной или направлением, считаются одним и тем же.

K4
H =
6.Теория графовСложная
92713515137ABCDEF

С помощью алгоритма Дейкстры найдите длину d(E) кратчайшего пути от A до E во взвешенном графе.

начало: Aконец: E
d(E) =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · O(n)

Почему это ответ

Глубина рекурсии — n вызовов до первого возврата, и каждому вызову нужен кадр стека, поэтому используется O(n) памяти.

Ответ

C · O(n)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · После V − 1 раундов он проверяет, можно ли ещё релаксировать какое-либо ребро

Почему это ответ

Все истинные кратчайшие расстояния находятся за V − 1 раундов; если ребро ещё можно улучшить, значит, существует отрицательный цикл.

Ответ

A · После V − 1 раундов он проверяет, можно ли ещё релаксировать какое-либо ребро
3.Структуры данных

Ответ: B · Это полное двоичное дерево, поэтому позиции подчиняются простым формулам индексов

Почему это ответ

Полнота означает отсутствие пропусков, поэтому потомки индекса i всегда находятся в 2i + 1 и 2i + 2.

Ответ

B · Это полное двоичное дерево, поэтому позиции подчиняются простым формулам индексов
4.Структуры данных

Ответ: D · O(n)

Почему это ответ

Куча не даёт правила, в каком поддереве находится ключ, поэтому в худшем случае нужно проверить все узлы; быстро находится только минимум.

Ответ

D · O(n)
5.Теория графов

Ответ: H = 3

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Посчитайте

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Ответ

H = 3
6.Теория графов

Ответ: d(E) = 18

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

В каждой строке: зафиксированная вершина, её окончательное расстояние и соседи, у которых расстояние улучшается.

A (0): C: 9
C (9): B: 11, E: 22
B (11): D: 18, E: 18
D (18): F: 33
E (18): F: 31
F (31)

Кратчайший путь

A → C → B → E
d(E) = 18

Ответ

d(E) = 18

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms