Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Каково решение рекуррентного соотношения T(n) = T(n − 1) + O(n)?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(2ⁿ)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Какой приём обеспечивает ожидаемое время работы O(n log n) для быстрой сортировки на любых входных данных?

  1. AВыбор опорного элемента случайно с равномерным распределением
  2. BВыбор всегда первого элемента
  3. CСортировка входных данных перед запуском быстрой сортировки
  4. DПрименение рекурсии только к левой части
3.Структуры данныхСредняя

Какое условие балансировки поддерживает АВЛ-дерево в каждом узле?

  1. AОба поддерева каждого узла содержат ровно одинаковое число узлов
  2. BВысоты левого и правого поддеревьев различаются не более чем на 1
  3. CКаждый узел окрашен в красный или чёрный цвет
  4. DВсе листья находятся ровно на одной глубине
4.Структуры данныхСложная

Удаление узла с двумя потомками из двоичного дерева поиска обычно выполняют так:

  1. AЗаменяют его in-order преемником (или предшественником) и удаляют тот узел
  2. BПерестраивают поддерево под ним с нуля и заново вставляют каждый содержавшийся в нём ключ
  3. CМеняют его местами с корнем
  4. DУдаляют всё поддерево
5.Теория графовСредняя

Связный граф имеет 16 вершин и 25 рёбер. Сколько рёбер, k, нужно удалить, чтобы осталось остовное дерево?

|V| = 16|E| = 25
k =
6.Теория графовСложная
9721341110ABCDE

Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево. Нажмите на ребро, которое он добавляет под номером 3; пропущенные рёбра не считаются.

k = 3
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро AC
  3. 3ребро BC
  4. 4ребро BD
  5. 5ребро CE
  6. 6ребро DE
  7. 7ребро BE

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · O(n²)

Почему это ответ

Работа в сумме составляет около n² / 2; это рекуррентное соотношение сортировки выбором или быстрой сортировки с худшим опорным элементом.

Ответ

C · O(n²)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · Выбор опорного элемента случайно с равномерным распределением

Почему это ответ

При случайном опорном элементе ожидаемое время работы составляет O(n log n) для любых входных данных; плохие случаи по-прежнему существуют, но крайне маловероятны.

Ответ

A · Выбор опорного элемента случайно с равномерным распределением
3.Структуры данных

Ответ: B · Высоты левого и правого поддеревьев различаются не более чем на 1

Почему это ответ

Показатель сбалансированности (высота левого − высота правого) должен быть −1, 0 или 1; повороты восстанавливают его после вставок и удалений.

Ответ

B · Высоты левого и правого поддеревьев различаются не более чем на 1
4.Структуры данных

Ответ: A · Заменяют его in-order преемником (или предшественником) и удаляют тот узел

Почему это ответ

У in-order преемника не более одного потомка, поэтому его легко удалить, скопировав его ключ в удаляемый узел.

Ответ

A · Заменяют его in-order преемником (или предшественником) и удаляют тот узел
5.Теория графов

Ответ: k = 10

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Рёбра остовного дерева

16 − 1 = 15

Рёбра для удаления

k = 25 − 15 = 10

Ответ

k = 10
6.Теория графов

Ответ: ребро AC

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Краскала

1. BC (2)
2. CE (4)
3. AC (7)
4. DE (11)

номер ребра 3

AC

Ответ

ребро AC

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms