Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Почему многие библиотечные процедуры сортировки переходят на сортировку вставками для очень маленьких подмассивов?

  1. AСортировка вставками использует меньше памяти, чем любой другой алгоритм сортировки, на больших входах
  2. BУ сортировки вставками малые накладные расходы, и она быстра на маленьких или почти отсортированных входах
  3. CСортировка вставками имеет сложность O(n log n) в худшем случае
  4. DРекурсивные алгоритмы не справляются с массивами меньше 10 элементов
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Принадлежит ли 22n классу O(2ⁿ)?

  1. AНет, потому что 22n растёт медленнее 2ⁿ
  2. BДа, потому что обе функции экспоненциальны
  3. CДа, потому что постоянные множители в показателе в O большом всегда игнорируются
  4. DНет, потому что 22n = 4ⁿ, а 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ растёт неограниченно
3.Структуры данныхСредняя

Каков максимально возможный коэффициент заполнения хеш-таблицы с открытой адресацией?

  1. AМаксимума нет
  2. B0,5
  3. C1
  4. D2
4.Структуры данныхСложная

Какое свойство поддерживает любое B-дерево идеально сбалансированным?

  1. AКлючи хранятся только в корне
  2. BУ каждого узла ровно два потомка
  3. CВсе листья находятся на одной глубине
  4. DКаждый узел хранит один ключ
5.Теория графовСредняя

Связный граф имеет 7 вершин и 9 рёбер. Сколько рёбер, k, нужно удалить, чтобы осталось остовное дерево?

|V| = 7|E| = 9
k =
6.Теория графовСложная
ABCDEF

Сколько существует маршрутов длины 3 из E в A? Маршрут может повторять вершины и рёбра. Обозначим это число N.

M = матрица смежностиL = 3
N =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · У сортировки вставками малые накладные расходы, и она быстра на маленьких или почти отсортированных входах

Почему это ответ

При малых n простой цикл сортировки вставками выигрывает у накладных расходов рекурсии быстрой сортировки или сортировки слиянием, хотя он O(n²).

Ответ

B · У сортировки вставками малые накладные расходы, и она быстра на маленьких или почти отсортированных входах
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · Нет, потому что 22n = 4ⁿ, а 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ растёт неограниченно

Почему это ответ

Константа, прибавленная к показателю, даёт постоянный множитель, а константа, умножающая показатель, меняет основание и скорость роста.

Ответ

D · Нет, потому что 22n = 4ⁿ, а 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ растёт неограниченно
3.Структуры данных

Ответ: C · 1

Почему это ответ

При открытой адресации все ключи хранятся в самой таблице, поэтому n не может превышать m; при методе цепочек коэффициент заполнения может быть больше 1.

Ответ

C · 1
4.Структуры данных

Ответ: C · Все листья находятся на одной глубине

Почему это ответ

Заполненные узлы расщепляются вверх, а дерево становится выше только при расщеплении корня, поэтому все листья всегда остаются на одном уровне.

Ответ

C · Все листья находятся на одной глубине
5.Теория графов

Ответ: k = 3

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Рёбра остовного дерева

7 − 1 = 6

Рёбра для удаления

k = 9 − 6 = 3

Ответ

k = 3
6.Теория графов

Ответ: N = 3

Степени: степень вершины — это число рёбер, которые в ней сходятся. У каждого ребра два конца, поэтому степени в сумме дают удвоенное число рёбер: Σ deg(v) = 2|E| (лемма о рукопожатиях). Следовательно, число вершин нечётной степени чётно. У Kn имеется n(n − 1)/2 рёбер, у k-регулярного графа на n вершинах nk/2, а у дерева на n вершинах n − 1 ребро.

Матрица смежности

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Ещё один шаг

(M³)EA = 2·0 + 2·1 + 1·1 + 2·0 + 4·0 + 1·0 = 3

Ответ

N = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms