Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Как алгоритм Прима строит минимальное остовное дерево?

  1. AОн сортирует все рёбра по весу и добавляет каждое, если оно не образует цикл в лесу
  2. BОн выращивает одно дерево от начальной вершины, добавляя самое дешёвое ребро, выходящее из дерева
  3. CОн удаляет самое дорогое ребро, пока не исчезнут циклы
  4. DОн запускает поиск в ширину и сохраняет дерево BFS
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Какая из этих задач выполнимости, как известно, решается за полиномиальное время?

  1. A2-SAT, где в каждом дизъюнкте не более двух литералов
  2. BВыполнимость схем
  3. C3-SAT, где в каждом дизъюнкте ровно три литерала
  4. DОбщая SAT для формул в конъюнктивной нормальной форме
3.Структуры данныхСредняя

Какая структура данных используется, чтобы проверить, сбалансированы ли скобки в «{[()]}»?

  1. AСтек
  2. BОчередь
  3. CХеш-таблица
  4. DДвоичное дерево поиска
4.Структуры данныхСложная

Почему B-деревья используются в базах данных и файловых системах?

  1. AИм не нужна перебалансировка
  2. BОни занимают меньше памяти, чем любой массив, поэтому весь индекс всегда помещается в оперативной памяти
  3. CОни хранят неотсортированные данные
  4. DВысокая степень ветвления делает дерево неглубоким и сокращает число медленных чтений с диска
5.Теория графовСредняя

Связный граф имеет 12 вершин и 17 рёбер. Сколько рёбер, k, нужно удалить, чтобы осталось остовное дерево?

|V| = 12|E| = 17
k =
6.Теория графовСложная
8118151641052612ABCDEFG

Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево. Нажмите на ребро, которое он добавляет под номером 5; пропущенные рёбра не считаются.

k = 5
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро AC
  3. 3ребро BC
  4. 4ребро BD
  5. 5ребро CE
  6. 6ребро DE
  7. 7ребро DF
  8. 8ребро EF
  9. 9ребро GB
  10. 10ребро GC
  11. 11ребро GD

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · Он выращивает одно дерево от начальной вершины, добавляя самое дешёвое ребро, выходящее из дерева

Почему это ответ

Алгоритм Прима с очередью с приоритетом пересекающих рёбер работает за O(E log V) при использовании двоичной кучи.

Ответ

B · Он выращивает одно дерево от начальной вершины, добавляя самое дешёвое ребро, выходящее из дерева
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · 2-SAT, где в каждом дизъюнкте не более двух литералов

Почему это ответ

2-SAT лежит в P (линейное время через компоненты сильной связности), тогда как 3-SAT NP-полна.

Ответ

A · 2-SAT, где в каждом дизъюнкте не более двух литералов
3.Структуры данных

Ответ: A · Стек

Почему это ответ

Каждую открывающую скобку помещают в стек (push), а при появлении закрывающей извлекают (pop); она должна соответствовать извлечённой, а в конце стек должен быть пуст.

Ответ

A · Стек
4.Структуры данных

Ответ: D · Высокая степень ветвления делает дерево неглубоким и сокращает число медленных чтений с диска

Почему это ответ

B-деревья хранят много ключей в узле, поэтому высота мала и на один поиск нужно мало чтений блоков; B+ деревья также связывают листья для сканирования диапазонов.

Ответ

D · Высокая степень ветвления делает дерево неглубоким и сокращает число медленных чтений с диска
5.Теория графов

Ответ: k = 6

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Рёбра остовного дерева

12 − 1 = 11

Рёбра для удаления

k = 17 − 11 = 6

Ответ

k = 6
6.Теория графов

Ответ: ребро GC

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Краскала

1. AC (1)
2. GB (2)
3. DE (4)
4. EF (5)
5. GC (6)
6. GD (12)

номер ребра 5

GC

Ответ

ребро GC

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms