Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Что вычисляет алгоритм Флойда–Уоршелла и как быстро?

  1. AКратчайшие пути из одной исходной вершины до всех остальных за O(V + E)
  2. BТопологический порядок за O(V²)
  3. CМинимальное остовное дерево за O(E log V)
  4. DКратчайшие пути между всеми парами вершин за O(V³)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Проблема остановки показывает, что:

  1. AНикакой алгоритм не может для каждой программы и входных данных определить, остановится ли она
  2. BКаждая программа в конце концов останавливается
  3. CНекоторые программы работают быстрее на более быстрых компьютерах, поэтому остановка зависит от оборудования
  4. DЦиклов следует избегать
3.Структуры данныхСредняя

Префиксное дерево (trie) особенно эффективно для:

  1. AПоиска кратчайших путей
  2. BСортировки чисел
  3. CХранения матриц
  4. DПоиска по префиксу, например автодополнения
4.Структуры данныхСложная

Как определить, есть ли цикл в односвязном списке, используя O(1) дополнительной памяти?

  1. AОтсортировать список и искать повторы
  2. BСчитать узлы, пока счёт не превысит поле длины списка
  3. CХранить каждый посещённый узел в хеш-множестве
  4. DДвигать один указатель на один шаг, а другой на два и проверять, встретятся ли они
5.Теория графовСредняя
ABCDEFЭйлеров циклЭйлеров путь, не циклни то, ни другое

Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Эйлеров цикл
  2. 2Эйлеров путь, не цикл
  3. 3ни то, ни другое
6.Теория графовСложная
ABCDE

Сколько существует замкнутых маршрутов длины 2, начинающихся и заканчивающихся в A? Маршрут может повторять вершины и рёбра. Обозначим это число N.

M = матрица смежностиL = 2
N =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · Кратчайшие пути между всеми парами вершин за O(V³)

Почему это ответ

Флойд–Уоршелл — алгоритм динамического программирования, который по очереди допускает каждую вершину как промежуточную точку и использует время O(V³).

Ответ

D · Кратчайшие пути между всеми парами вершин за O(V³)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · Никакой алгоритм не может для каждой программы и входных данных определить, остановится ли она

Почему это ответ

Тьюринг показал, что проблема остановки неразрешима: предположение о существовании разрешающего алгоритма приводит к противоречию с программой, которая поступает наоборот.

Ответ

A · Никакой алгоритм не может для каждой программы и входных данных определить, остановится ли она
3.Структуры данных

Ответ: D · Поиска по префиксу, например автодополнения

Почему это ответ

Trie хранит строки посимвольно вдоль путей, поэтому поиск и запросы по префиксу занимают время, пропорциональное длине ключа.

Ответ

D · Поиска по префиксу, например автодополнения
4.Структуры данных

Ответ: D · Двигать один указатель на один шаг, а другой на два и проверять, встретятся ли они

Почему это ответ

В алгоритме Флойда при наличии цикла быстрый указатель в итоге догоняет медленный; иначе быстрый указатель доходит до null.

Ответ

D · Двигать один указатель на один шаг, а другой на два и проверять, встретятся ли они
5.Теория графов

Ответ: Эйлеров цикл

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Степени

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2, deg(F) = 2

Нечётные вершины

0
Эйлеров цикл

Ответ

Эйлеров цикл
6.Теория графов

Ответ: N = 1

Степени: степень вершины — это число рёбер, которые в ней сходятся. У каждого ребра два конца, поэтому степени в сумме дают удвоенное число рёбер: Σ deg(v) = 2|E| (лемма о рукопожатиях). Следовательно, число вершин нечётной степени чётно. У Kn имеется n(n − 1)/2 рёбер, у k-регулярного графа на n вершинах nk/2, а у дерева на n вершинах n − 1 ребро.

Матрица смежности

A: 0 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 0 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Общие соседи

(M²)AA = 0·0 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 0·0 = 1

Ответ

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms