Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Что вычисляет алгоритм Флойда–Уоршелла и как быстро?

  1. AКратчайшие пути из одной исходной вершины до всех остальных за O(V + E)
  2. BКратчайшие пути между всеми парами вершин за O(V³)
  3. CМинимальное остовное дерево за O(E log V)
  4. DТопологический порядок за O(V²)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Почему любой поиск в отсортированном массиве, основанный на сравнениях, требует в худшем случае Ω(log n) сравнений?

  1. AДерево решений с n возможными исходами должно иметь глубину не менее log₂ n
  2. BКаждый элемент нужно сравнить хотя бы один раз
  3. CБинарный поиск — единственный возможный алгоритм, и ему нужно log₂ n сравнений
  4. DКаждое сравнение занимает логарифмическое время
3.Структуры данныхСредняя

Чему равно значение постфиксного выражения 3 4 + 2 * ?

  1. A11
  2. B10
  3. C14
  4. D24
4.Структуры данныхСложная

Какую гарантию дают правила красно-чёрного дерева относительно высоты дерева с n ключами?

  1. AВысота равна ровно log2 n
  2. BВысота не превышает log2 n + 1
  3. CВысота не превышает 2 log2(n + 1)
  4. DВысота не превышает n / 2
5.Теория графовСредняя
ABCDEЭйлеров циклЭйлеров путь, не циклни то, ни другое

Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Эйлеров цикл
  2. 2Эйлеров путь, не цикл
  3. 3ни то, ни другое
6.Теория графовСложная
27710512298ABCDEFG

С помощью алгоритма Дейкстры найдите длину d(F) кратчайшего пути от A до F во взвешенном графе.

начало: Aконец: F
d(F) =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · Кратчайшие пути между всеми парами вершин за O(V³)

Почему это ответ

Флойд–Уоршелл — алгоритм динамического программирования, который по очереди допускает каждую вершину как промежуточную точку и использует время O(V³).

Ответ

B · Кратчайшие пути между всеми парами вершин за O(V³)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · Дерево решений с n возможными исходами должно иметь глубину не менее log₂ n

Почему это ответ

Каждое сравнение уменьшает множество оставшихся вариантов не более чем вдвое, поэтому для различения n позиций нужно не менее log₂ n сравнений.

Ответ

A · Дерево решений с n возможными исходами должно иметь глубину не менее log₂ n
3.Структуры данных

Ответ: C · 14

Почему это ответ

Помещаем 3 и 4, + даёт 7; помещаем 2, * даёт 7 × 2 = 14.

Ответ

C · 14
4.Структуры данных

Ответ: C · Высота не превышает 2 log2(n + 1)

Почему это ответ

На каждом пути одинаковое число чёрных узлов, а красные узлы не могут быть соседними, поэтому самый длинный путь не более чем вдвое длиннее самого короткого, что даёт высоту O(log n).

Ответ

C · Высота не превышает 2 log2(n + 1)
5.Теория графов

Ответ: ни то, ни другое

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Степени

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 3

Нечётные вершины

B, C, D, E → 4
ни то, ни другое

Ответ

ни то, ни другое
6.Теория графов

Ответ: d(F) = 24

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

В каждой строке: зафиксированная вершина, её окончательное расстояние и соседи, у которых расстояние улучшается.

A (0): C: 2
C (2): B: 9, E: 12, G: 11
B (9): D: 16
G (11)
E (12): F: 24
D (16)
F (24)

Кратчайший путь

A → C → E → F
d(F) = 24

Ответ

d(F) = 24

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms