Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Почему основание логарифма в O большом обычно не указывают, как в O(log n)?

  1. AВсе логарифмы в информатике имеют основание 10, так что оно подразумевается
  2. BЛогарифмы всегда округляются до целых
  3. CОснование имеет значение только при малых n
  4. DЛогарифмы по разным основаниям отличаются лишь постоянным множителем
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Почему любой поиск в отсортированном массиве, основанный на сравнениях, требует в худшем случае Ω(log n) сравнений?

  1. AКаждый элемент нужно сравнить хотя бы один раз
  2. BКаждое сравнение занимает логарифмическое время
  3. CБинарный поиск — единственный возможный алгоритм, и ему нужно log₂ n сравнений
  4. DДерево решений с n возможными исходами должно иметь глубину не менее log₂ n
3.Структуры данныхСредняя

Хеш-таблица размера 7 использует h(k) = k mod 7 и линейное пробирование. Где окажется 17 после вставки 10?

  1. AВ индексе 3
  2. BВ индексе 6
  3. CВ индексе 4
  4. DВ индексе 0
4.Структуры данныхСложная

Какую проблему линейного пробирования в основном уменьшает двойное хеширование?

  1. AНеобходимость в хеш-функции
  2. BПервичную кластеризацию, при которой образуются длинные серии занятых ячеек
  3. CНеобходимость хранить ключи в таблице
  4. DСтоимость O(n) чтения значения по ключу
5.Теория графовСредняя
ABCDEFЭйлеров циклЭйлеров путь, не циклни то, ни другое

Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Эйлеров цикл
  2. 2Эйлеров путь, не цикл
  3. 3ни то, ни другое
6.Теория графовСложная
482931914718ABCDEFG

Найдите суммарный вес W минимального остовного дерева взвешенного графа.

|V| = 7|E| = 9
W =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · Логарифмы по разным основаниям отличаются лишь постоянным множителем

Почему это ответ

Смена основания умножает логарифм на константу, а O большое игнорирует постоянные множители.

Ответ

D · Логарифмы по разным основаниям отличаются лишь постоянным множителем
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · Дерево решений с n возможными исходами должно иметь глубину не менее log₂ n

Почему это ответ

Каждое сравнение уменьшает множество оставшихся вариантов не более чем вдвое, поэтому для различения n позиций нужно не менее log₂ n сравнений.

Ответ

D · Дерево решений с n возможными исходами должно иметь глубину не менее log₂ n
3.Структуры данных

Ответ: C · В индексе 4

Почему это ответ

10 mod 7 = 3 и 17 mod 7 = 3; индекс 3 занят, поэтому линейное пробирование пробует следующую ячейку — индекс 4.

Ответ

C · В индексе 4
4.Структуры данных

Ответ: B · Первичную кластеризацию, при которой образуются длинные серии занятых ячеек

Почему это ответ

Линейное пробирование делает шаг 1, поэтому серии занятых ячеек растут и сливаются; двойное хеширование использует второй хеш для размера шага, так что разные ключи проходят разные последовательности.

Ответ

B · Первичную кластеризацию, при которой образуются длинные серии занятых ячеек
5.Теория графов

Ответ: Эйлеров путь, не цикл

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Степени

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 2

Нечётные вершины

A, C → 2
Эйлеров путь, не цикл

Ответ

Эйлеров путь, не цикл

Эйлеров путь начинается в одной нечётной вершине и заканчивается в другой.

6.Теория графов

Ответ: W = 43

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Краскала

BD (2): берём
DE (3): берём
AB (4): берём
GD (7): берём
AC (8): берём
CE (9): пропускаем, замыкает цикл
GC (14): пропускаем, замыкает цикл
GE (18): пропускаем, замыкает цикл
DF (19): берём

Суммарный вес

W = 2 + 3 + 4 + 7 + 8 + 19 = 43

Ответ

W = 43

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms